数列求和之奇偶项的讨论【真题+模拟】

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1、题型一：数列奇数偶数项问题【真题再现】1、（2011，山东，文20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．解析：（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故（II）因为所以2、（2011，山东，理20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第

2、三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：求数列的前项和.解析：（1）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意；因此，所以公比故（2）因为所以所以当为偶数时，当为奇数时，综上所述，3、（2014，山东，文19）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（Ｉ）求数列的通项公式；（II）设，记，求.解析：（Ⅰ）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项且，即，解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，①当n为偶数时：②当n为奇数时：综上：4、（2014，山东，理19）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4

3、成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解析　(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意，得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1(＋)．当n为偶数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝1＋＝.所以Tn＝(或Tn＝)【模拟题库】1、（2016届济宁一模，理1

4、9）已知等差数列的前n项和为，且.数列的前n项和为，且.（I）求数列、的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.解析：（Ⅰ）记等差数列{an}的公差为d，依题意，S5=5a1+d=30，又∵a1=2，∴d==2，∴数列{an}的通项公式an=2n；∵Tn=2n﹣1，∴Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得：bn=2n﹣1，又∵b1=T1=21﹣1=1满足上式，∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知anbn=n•2n，Sn=2•=n（n+1），∴cn=（﹣1）n（anbn+lnSn）=n（﹣2）n+（﹣1）n[ln

5、n+ln（n+1）]，记数列{（﹣1）nanbn}的前n项和为An，数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和为Bn，则An=1•（﹣2）1+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n，﹣2An=1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+（n﹣1）•（﹣2）n+n•（﹣2）n+1，错位相减得：3An=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣n•（﹣2）n+1=﹣n•（﹣2）n+1=﹣﹣•（﹣2）n+1，∴An=﹣﹣•（﹣2）n+1；当n为偶数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…+[lnn+ln

6、（n+1）]=ln（n+1）﹣ln1=ln（n+1），当n为奇数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…﹣[lnn+ln（n+1）]=﹣ln（n+1）﹣ln1=﹣ln（n+1）；综上可知：Bn=（﹣1）nln（n+1），∴数列{cn}的前n项和An+Bn=（﹣1）nln（n+1）﹣﹣•（﹣2）n+1．题型二：通项公式为an＝的数列，可采用分组求和法求和．1、（2016潍坊一中，理19）已知等比数列的前项和为，公比，（1）求数列的通项公式；（2）设，为的前项和，求解析：（1）由已知①②①-②得即………………

7、……2分又……………………3分……………………5分……………………6分（2）由（1）知……………7分所以=　　　……………………9分设，则，两式相减得，整理得，……………………11分所以．……………………12分2、（2015届滕州实验，理19）设等差数列的前项和为．数列的前项和为，且．（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和解析：（Ⅰ）由题意，，得．…3分，，，两式相减，得数列为等比数列，．…………6分（Ⅱ）．当为偶数时，．……………9分当为奇数时，．…………11分．………12分3、已知数列的前和为，且；数列是公比大于1的等比数

8、列，且满足，.（Ⅰ）分别求数列，的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）时，时，，又因为，所以.设等比数列的公比为，由已知，即，解得，或（舍去，因为）所以，（Ⅱ），设数列的前项和为