数列讨论奇偶

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1、1.在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，(Ⅰ)证明：a4，a5，a6成等比数列；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；(Ⅲ)记，证明。解：(Ⅰ)证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，a5=a4+4=12，a6=a5+6=18，从而，所以a4，a5，a6成等比数列．(Ⅱ)由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*，所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1），

2、k∈N*，由a1=0，得a2k+1=2k（k+l），从而a2k=a2k+1-2k=2k2，所以数列{an}的通项公式为或写为。(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知a2k+1=2k(k+1)，a2k=2k2，以下分两种情况进行讨论：(1)当n为偶数时，设n=2m(m∈N*)，若m=1，则，若m≥2，则，所以，4，从而，n=4，6，8，……（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*），，所以，从而，n=3，5，7，……综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有。2.（本小题满分12分）数列(Ⅰ)求并求数列的通项公式；(Ⅱ)设证明：当解(Ⅰ)因为一般地，当时，＝，即所以

3、数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为4(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①－②得，所以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时，证法二令，则所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，3.44