浅谈切线的两种证明方法

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1、浅谈切线的两种证明方法　　在中学学习圆的时候，我们学过切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。但很多学生在教学过程中对此判定不是很理解，并不知道如何使用这条判定定理来证明切线，为此我总结了一套切线证明的方法，供大家参考。　　首先，我们对判定定理分解一下，里面共包含了两个条件：　　１.经过半径的外端　　２.垂直于这条半径　　也就是说只要我们同时满足这两个条件就能说明这条线是切线，而在实际证明过程中，往往是通过辅助线先满足其中一个，再证明另外一个也成立。这里分为两种情况：　　一、若直线l过⊙O上某一点

2、A，证明l是⊙O的切线，只需连接OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。　　例1.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.　　求证：DM与⊙O相切.　　证明：连结OD.　　∵AB=AC，　　∴∠B=∠C.　　∵OB=OD，　　∴∠1=∠B.　　∴∠1=∠C.　　∴OD∥AC.　　∵DM⊥AC，　　∴DM⊥OD.　　∴DM与⊙O相切.　　例2.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，BD=OB，D在AB的延长线上.　　求证：DC是⊙O的切

3、线.　　证明：连结OC、BC.　　∵OA=OC，　　∴∠A=∠1=∠30°.　　∴∠BOC=∠A+∠1=60°.　　又∵OC=OB，　　∴△OBC是等边三角形.　　∴OB=BC.　　∵OB=BD，　　∴OB=BC=BD.　　∴OC⊥CD.　　∴DC是⊙O的切线.　　二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直，证半径”。　　例3.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.　　求证：AC与⊙D相切.　　证明：连结DE，作DF⊥AC，

4、F是垂足.　　∵AB是⊙D的切线，　　∴DE⊥AB.　　∵DF⊥AC，　　∴∠DEB=∠DFC=90°.　　∵AB=AC，　　∴∠B=∠C.　　又∵BD=CD，　　∴△BDE≌△CDF（AAS）　　∴DF=DE.　　∴F在⊙D上.　　∴AC是⊙D的切线.　　例4.如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=90°.　　求证：CD是⊙O的切线.　　证明：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.　　∵AC，BD与⊙O相切，　　∴AC⊥OA，BD⊥OB.　　∵AC∥BD，　　∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.　

5、　∵∠COD=90°，　　∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.　　∵∠4+∠5=90°.　　∴∠1=∠5.　　∴Rt△AOC∽Rt△BDO.　　　　又∵∠CAO=∠COD=90°，　　∴△AOC∽△ODC，　　∴∠1=∠2.　　又∵OA⊥AC，OE⊥CD,　　∴OE=OA.　　∴E点在⊙O上.　　∴CD是⊙O的切线.　　切线的证明题目形式多变，但切线的证明方法一般就这两种，只要你能判别情况，清楚证明方向，你离成功也就不远了。　　（作者单位江西省赣州市信丰县大阿中学）