小专题(十)　证明切线的两种常用方法

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1、华章文化word版习题小专题(十)　证明切线的两种常用方法　　　　　　　　　　　　　　　　类型1　直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】　如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．2．(德州中考)如图，已

2、知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．类型2　不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形

3、全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】　如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．www.sjhzhb.com（编辑部）027-87778916华章文化word版习题5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．参考

4、答案【例1】　证明：法一：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠B.∴∠BDO＝∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切．法二：连接OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DM⊥AC，∴∠CAD＋∠ADM＝90°.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.∴∠ODA＋∠ADM＝90°.即OD⊥DM，∴DM是⊙O的切线．1.(1)连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBC.∵OA⊥OD，∴∠AOC＝90°.∴∠OAC＋∠OCA＝90°.∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC.∵∠DC

5、B＝∠ACO，∴∠ACO＝∠DBC.∴∠DBC＋∠OBC＝90°.∴∠OBD＝90°.www.sjhzhb.com（编辑部）027-87778916华章文化word版习题∵点B是半径OB的外端，∴BD与⊙O相切．(2)设BD＝x，则CD＝x，OD＝x＋1，OB＝OA＝3，由勾股定理得：32＋x2＝(x＋1)2.解得x＝4.∴BD＝4.　2.(1)连接BD，则∠DBE＝90°.∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝AD＝1.∴AD＝2.(2)BC是⊙O的切线，理由如下：连接OB，由(1)得BC∥OD，且BC

6、＝OD.∴四边形BCDO是平行四边形．又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．　3.(1)连接OA，OD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠AFC.∵∠AFC＝∠OFD，∴∠CAF＝∠OFD.∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF.∵∠FOD＝90°.∴∠OFD＋∠ODF＝90°.∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.∴AC与⊙O相切．(2)∵半径R＝5，EF＝3，∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝＝.　【例2】　法一：连接DE，作DF⊥AC，

7、垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.www.sjhzhb.com（编辑部）027-87778916华章文化word版习题∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．　4.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，