大一上学期微积分复习资料

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1、13—14学年第一学期“微积分”期末复习指导-10-第一章函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二．复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中⑴.对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它

2、们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、知道分段函数，隐函数的概念。.三．例题选解例1.试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？⑴.⑵.分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。解：⑴.⑵.例2.的定义域、值域各是什么？＝？答：是的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知的定义域是，值域为.四．练习题及参考答案1.则f(x

3、)定义域为，值域为f(1)=；.2.则f(x)定义域为，值域为f(1)=；.3.分解下列函数为简单函数的复合：⑴.⑵.答案：1.（-∞+∞）,,-10-2..3.⑴.⑵.自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B）.11.第二章极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。二．复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。

4、例如：3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当à0时,有：～；～～;～;～～.…….（参见教材P79）4.掌握两个重要极限:(Ⅰ).(Ⅱ).记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限：5.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：当分段

5、函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：.6.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必至少有下列三种情况之一发生：⑴、在点无定义；⑵、不存在；⑶、存在，但.若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即-10-存在时），称为的可去间断点；时称为的跳跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无

6、穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。三.例题选解例1.单项选择题⑴下列极限中正确的是（）A.B.C.D.⑵当时，是的（）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D.等价无穷小；分析与解：⑴．A与C显然都不对，对于D,记，则∴即D也不对，剩下的B就是正确答案。⑵．由于∴应选择D.例3.求极限：⑴⑵解:⑴此极限为型∵当时，有～,～∴⑵此极限为型，可用重要极限。＝.例2．判断函数的间断点，并判断其类型。-10-解：由于

7、∴是函数y无定义的点，因而是函数y的间断点。∵∴为函数y的可去间断点；∵∴为函数y的第二类（无穷型）间断。例3．函数在点处连续，求常数k.分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是∵∴四.练习题及参考答案1.填空⑴.当时，与相比，是__________________无穷小；⑵.__________________；⑶.______________.2.单项选择题⑴．设，下面说法正确的是________；A.点都是可去间断点；B.点是跳跃间断点，点是无穷间断点；C.点是可去间断点，点是无穷间断点；

8、D.点是可去间断点，点是跳跃间断点；⑵．下面正确的是______________.A.；B.；C.不存在；D..答案:1.⑴.同阶而不等价的；⑵.；⑶..2.⑴.C;⑵.B.自我复习.习题二(A)11.(4).24.⑴,(4),⑺.27.⑴.(4).28.⑴,⑵