N单元 选修4系列_高考_高中教育_教育专区

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1、数学N单元选修4系列15．[2014·广东卷](几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．图1315．9　[解析]本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方．∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴△AEF∽△CDF，∴＝＝9.15．[2014·湖北卷](选修41：几何证明选讲)如图13，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝_____

2、___．图1315．4　[解析]由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.12．[2014·湖南卷]如图13所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．图1312.　[解析]设圆的半径为r，记AO与BC交于点D，依题可知AD＝1.由相交弦定理可得1×(2r－1)＝×，解得r＝.22．[2014·辽宁卷]选修41：几何证明选讲如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP

3、，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.图1722．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA

4、.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.22．[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修41：几何证明选讲如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图16(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)

5、设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．22．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修41：几何证明选讲如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图1422．证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝

6、PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.15．[2014·陕西卷]图13B．(几何证明选做题)如图13，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．15．B．3　[解析]B．由题意，可知∠AEF＝∠ACB

7、，又∠A＝∠A，所以△AEF∽ACB，所以＝.因为AC＝2AE，BC＝6，所以EF＝3.6．[2014·天津卷]图12如图12所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是(　　)A．①②B．③④C．①②③D．①②④6．D　[解析]如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF.

8、∵＝，∴AB·BF＝AF·BD.∵＝，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．14．[2014·重庆卷]过圆外一点P作圆的切线