2014年北京高考数学文科试题及答案

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1、绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，定义域是且为增函数的是（）（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，，则（）（A）（B）（C）（D）（4）执行如图所示

2、的程序框图，输出的值为（）（A）（B）（C）（D）（5）设、是实数，则“”是“”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件（6）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）(A)(B)(C)(D)（7）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模

3、型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）分钟（B）分钟（C）分钟（D）分钟第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若，则.（10）设双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，则的方程为.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.（12）在中，，，，则；.（13）若,满足，则的最小值为.（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后

4、交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.（16）（本小题13分）函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出的最小正周期及图中、的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证

5、：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1628317422525612768292合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结

6、论）（19）（本小题14分）已知椭圆C：.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.（20）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求在区间上的最大值；（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）B（3）A（4）C（5）D（6）C（7）B（8）B二、填

7、空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2（10）（11）（12）（13）1（14）42三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得所以．设等比数列的公比为，由题意得，解得．所以．从而（Ⅱ）由⑴知．数列的前项和为，数列的前项和为．所以，数列的前项和为．（16）（共13分）解：（Ⅰ）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值．（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，底面．所以．又因为．所以平面．所以平面平面．（Ⅱ

8、）取中点，连结，．因为，分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅲ）因为，，，所以．所以三棱锥的体积．（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为．（Ⅱ）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以．课外阅读时间落在组的有25