等积变形定理及其应用Microsoft Word 文档

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1、小六2012年4.19讲课稿等积变形定理及其应用首都师范大学数学科学学院周春荔对平面图形的面积，直观上要承认如下的两条性质：1.两个图形完全重合，则这两个图形的面积相等。2.把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积之和。这两条性质，是面积割补的理论基础。定理1.等底等高的两个三角形的面积相等。推论1.三角形的一条中线平分这个三角形的面积.推论2.梯形中，以腰为一边，第三个顶点为梯形对角线交点的两个三角形面积相等。反之，共底的两个三角形的面积相等.若第三个顶点落在底边的同侧，则连接第三顶点的直线与底边所在的直线平行.例1.凸四边形ABCD的两组对边中点连线EF,

2、GH相交于O.求证:证明:连接OD,OA，OB，OC.则所以例2.如图，四边形ABCD中，E和F分别为对角线BD和AC的中点.过E、F的直线交AB和CD分别于M和N.已知△ABN的面积为25平方厘米，求△CDM的面积.答：25.11解：因为E是BD的中点，则；因为F是AC的中点，则.相加即得例3.右图中ABCD是个直角梯形（）.以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米.连结BE交AD于P，连结PC.求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？解：连接AE，BD.因为AD//BC，则，又AB//ED，则.所以（平方厘米）.例4.过梯形ABCD的顶点A作平行于腰DC的直线交下底B

3、C于E点，交BD于点F.已知三角形ABE的面积等于15，求三角形BCF的面积.答：15.解：因为F为梯形ABED对角线AE、BD的交点，所以三角形ABF的面积=三角形DEF的面积.连接DE.三角形DEF的面积=三角形CEF的面积所以，三角形CBF的面积=三角形ABE的面积=15.例5.在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使得线段EF平行于对角线BD.求证：三角形BCE与三角形CDF等积.证明：△BCE的面积=△BDE的面积=△BDF的面积=△CDF的面积11例6.四边形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点.已知求证：AD//BC.证明：连接AN，DN.由于MN为△

4、AND的一条中线，所以又已知所以（等量减等量其差相等）由于△ABN与△DCN的底边在一条直线BC上，且BN=CN，点A，D在BC同侧，由定理2可得，AD//BC.例7．为五边形内一点，厘米,厘米.又////，//.联结求三角形的面积.解：由得面积为6.联结，则所以答:6平方厘米.例8.为三角形ABC内一点,过P作,求证:三角形与三角形的面积相等.（考虑3种不同的证法）提示:连接A1C2,C1B2,B1A2.面积=面积=面积11同理可得面积=面积=面积；面积=面积=面积；相加得三角形与三角形的面积相等.例9.如图，四边形中,对角线相交于.如果四边形的面积等于2009平方厘米，求的面积.提

5、示：连接，利用等积变形定理得的面积为2009平方厘米.例10.在五边形中,如果求证:分析：要证只需面积=面积.但，有面积=面积但有面积=面积，又有面积=面积；注意到所以面积=面积.因此，面积=面积，所以11例11.已知ABCDEFG是凸七边形.证明:如果和,那么分析:要证只需证面积=的面积.因为有面积=的面积;由有的面积=的面积;由,有的面积=的面积;由有的面积=的面积;由,有的面积=的面积由,有的面积=的面积,因此，面积=的面积.故得证ABCDEFGH例12.如图所示，正方形ABCD的面积为36cm2，正方形EFGH的面积为256cm2，三角形ACG的面积为27cm2，则四边形CDH

6、G的面积为cm2.（第17届华杯赛初赛网络版试题）答：77解：由条件知，正方形ABCD的边长为6cm.ABCDEFGH正方形EFGH的边长为16cm.连接EG，则所以AC//EG.因此ACGE是梯形，所以.即27=，所以EC=9，因此CH==7，因为四边形CDHG是个梯形，所以四边形CDHG的面积=（cm2）.11定理2.凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O.则证明:由共边定理,得,所以相加得所以即特别地,由可以得出结论AO=CO.为用面积方法证明线段相等提供了新思路.例13.右图中,正方形ABCD的面积为840平方厘米，AE=EB，BF=2FC，DF与EC相交于G.则四边形AE

7、GD的面积为平方厘米.（第17届华杯赛决赛小高网络版试题6）答:510解.连结DE,EF,则△DEC的面积=420.△EBC的面积=210.△EFC的面积=△EBC的面积210=70.所以，所以△DGC的面积=所以四边形AEGD的面积=四边形AECD的面积△DGC的面积ABCDEP例14如图所示，直角三角形ACB的两条直角边AC和BC的长分别为14cm和28cm，11CA和CB分别绕点A和B点旋转至DA和EB.若DB和AE相交于点P，求三角形P