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《最优化方法及其应用课后答案(郭科_陈聆_魏友华)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、最优化方法部分课后习题解答1.一直优化问题的数学模型为：习题一12minf(x)=(x−3)2+(x−4)2⎧g(x)=x−x−5≥0⎪1122⎪试用图解法求出：s.t.⎨g2(x)=−x1−x2+5≥0⎪g(x)=x≥0⎪31⎪⎩g4(x)=x2≥0（1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束h(x)=x1−x2=0，其约束最优解是什么？*解：（1）在无约束条件下，f(x)的可行域在整个x10x2平面上，不难看出，当x=（3，4）时，f(x)取最小值，即，最优点为x
2、*=（3，4）：且最优值为：f(x*)=0（2）在约束条件下，f(x)的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点(x1,x2)，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当x*=(15,5)时，f(x)所在的圆的半径最小。44⎧g(x)=x−x−5=0⎧15⎪x1=其中：点为g1(x)和g2(x)的交点，令⎪112⎨2求解得到：⎨45即最优点为x*=⎪⎩g2(x)=−x1−x2+5=0(15,5)：最优值为：f(x*)=65⎪x=⎪⎩24448（3）.若增加一
3、个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：maxf(x)=x1x2x3⎧x1x2+2x2x3+2x1x3≤S⎪⎨s.t.⎪x1>0⎪x2>0⎪⎩x3>0该优化问题属于三维的优化问题。x=s/3,y=s/3,z=s/12v=s33s==1⎛=s⎞2⎝⎠182⎜3⎟习题二3.计算一般二次函数f(x)=1XTAX+bTX+c的梯度。2ijn
4、×n12n12n解：设：A=(a),b=(b,b,...b)T,X=(x,x,...x)T则：f(x)=1nnnaxx+bx+c，将它对变量x(i=1,2,...n)球偏导数得：∑∑ijij∑iii2i=1j=1i=1⎡1n1n⎤⎡n⎤⎡n⎤⎡∂f(x)⎤⎢∑a1jxj+∑ai1xi+b1⎥⎢∑a1jxj⎥⎢∑ai1xi⎥⎢⎥⎢2j=12i=1⎥⎢j=1⎥⎢i=1⎥⎢∂x1⎥⎢1n1n⎥⎢n⎥⎢n⎥⎡b⎤⎢∂f(x)⎥⎢∑a2jxj+∑ai2xi+b2⎥∑ajxj⎢∑ai2xi⎥
5、⎢⎥∇f(x)=⎢⎥=⎢2j=112i=11⎢2⎥=⎥+1+b⎢j=1⎥⎢i=1⎥⎢2⎥⎢∂x2⎥⎢⋮⎥2⎢⋮⎥2⎢⋮⎥⎢b⎥⎢∂f(x)⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣3⎦⎢⎥⎢1n1n⎥⎢n⎥⎢⎥n⎣∂x3⎦⎢∑anjxj+∑ainxi+bn⎥⎢∑anjxj⎥⎢∑ainxi⎥⎣2j=11T2i=1⎦⎣j=1⎦⎣i=1⎦=(AX+AX)+b25.求下列函数的梯度和Hesse矩阵（1）f(x)=x2+2x2+3x2−4xx⎛20-4⎞解：∇2f(x)=⎜040⎟12313⎛x2ex1x2⎜⎟⎝⎠
6、⎜−406⎟6x+ex1x2+xxex1x2⎞（2）f(x)=3xx2+ex1x2解：∇2f(x)=⎜⎜2212121212⎟126x+exx+xxexx6x+x2exx⎝21211⎠6.判断下列函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹函数：121212（1）f(x,x)=−x2+2x2+3xx解：∇2f(x)不是半正定，即f(x)非凸，然后判断-f(x)，经验证：∇2(−f(x))不是半正定，由此可知：f(x)非凸非凹。1211221（2）f(x,x)=2x2−4xx+3x2−5x−6解：∇2f(x)半正定，故f
7、(x)为凸函数。（3）222f(x1,x2,x3)=x1+2x2−3x3−4x1x2解：∇2f(x)不是半正定，即f(x)非凸，然后判断-f(x)，经验证：∇2(−f(x))不是半正定，由此可知：f(x)非凸非凹。7.设约束优化问题的数学模型为：1122minf(x)=x2+4x+x2−4x+10⎧g1(x)=x1−x2+2≥0s.t.⎨21212⎩g(x)=−x2−x2−2x+2x≥0试用K-T条件判别点x=[−1,1]T是否为最优点。解：对于点x=[−1,1]T，g(x)=0，g(x)≥0，点满足约束条件，故
8、点X是可行解。12⎛2⎞⎛1⎞且g1(x)是起作用约束，I={1},∇f(x)=⎜⎟,∇g1(x)=⎜⎟，由∇gi(x)≥0条件下的⎝−2⎠⎝−1⎠TK-T条件得：∇f(x)−∑λi∇gi(x)=0,λi≥0，得到λ1=2，点x=[−1,1]i∈I满足K-T条件。又因∇2f(x)正定，故f(x)为严格凸函数，该最优化问题是凸
