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《最优化方法及其应用课后习题答案(郭科、陈聆、魏友华)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：12minf(x)=(x−3)2+(x−4)2⎧g(x)=x−x−5≥0⎪1122s.t.⎪⎪g(x)=−x−x+5≥0⎨212⎪g(x)=x≥0⎪31试用图解法求出：⎪⎩g4(x)=x2≥0（1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束h(x)=x1−x2=0，其约束最优解是什么？12解：（1）在无约束条件下，f(x)的可行域在整个x0x平面上，不难看出，当x*=（3，4）时，f(x)取最小值，即，
2、最优点为x*=（3，4）：且最优值为：f(x*)=0（2）在约束条件下，f(x)的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点(x1,x2)，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当x*=155(,)44时，f(x)所在的圆的半径最小。⎧5⎧x=15⎪g1(x)=x1−x2−=0⎪14其中：点为g1(x)和g2(x)的交点，令⎨2求解得到：⎨5⎪⎩g2(x)=−x1−x2+5=0即最优点为x*=(15,5)：最优值为：f(x*)=65⎪x=⎪⎩244
3、48（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：maxf(x)=x1x2x3⎧x1x2+2x2x3+2x1x3≤S⎪x>0该优化问题属于三维的优化问题。s.t.⎪1⎨x>0⎪2⎪⎩x3>0x=s/3,y=s/3,z=3s/12s3s18⎜⎟23v==1⎛s⎞2⎝⎠习题二1.计算一般二次函数f(x)=1XTAX+b
4、TX+c的梯度。2解：设：A=(a),b=(b,b,...b)T,X=(x,x,...x)T则：ijn×n12n12nf(x)=1∑n∑naxx+∑nbx+cx(i=1,2,...n)2i=1j=1ijijiii=1，将它对变量i球偏导数得：⎡1n1n⎤⎡n⎤⎡n⎤⎡∂f(x)⎤⎢2∑a1jxj+2∑ai1xi+b1⎥⎢∑a1jxj⎥⎢∑ai1xi⎥⎢∂x⎥⎢j=1i=1⎥⎢j=1⎥⎢i=1⎥⎢1⎥⎢1n1n⎥⎢n⎥⎢n⎥⎡b1⎤∇f(x)=⎢∂f(x)⎥=⎢2∑a2jx
5、j+2∑ai2xi+b2⎥=1⎢∑a2jxj⎥+1⎢∑ai2xi⎥+⎢b⎥⎢∂x⎥⎢j=1i=1⎥2⎢j=1⎥2⎢i=1⎥⎢2⎥⎢2⎥⎢⋮⎥⎢⋮⎥⎢⋮⎥⎢⎣b⎥⎢∂f(x)⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥3⎦⎢⎥⎢1n1n⎥⎢n⎥⎢n⎥⎣∂x3⎦⎢2∑anjxj+2∑anxii+bn⎥⎢∑anjxj⎥⎢⎣∑ainxi⎥⎣j=11Ti=1⎦⎣j=1⎦i=1⎦=(AX+AX)+b25.求下列函数的梯度和Hesse矩阵（1）f(x)=x2+2x2+3x2−4xx⎛20-4⎞解：∇2f(x)=⎜040⎟1
6、2313⎛x2ex1x2⎜⎟⎝⎠⎜−406⎟6x+ex1x2+xxex1x2⎞（2）f(x)=3xx2+ex1x2解：∇2f(x)=⎜2212⎟12⎜6x+ex1x2+xxex1x26x+x2ex1x2⎟⎝21211⎠6.判断下列函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹函数：121212（1）f(x,x)=−x2+2x2+3xx解：∇2f(x)不是半正定，即f(x)非凸，然后判断-f(x)，经验证：∇2(−f(x))不是半正定，由此可知：f(x)非凸非凹。1211221（2）f(x,x)=2x2−4xx
7、+3x2−5x−6解：∇2f(x)半正定，故f(x)为凸函数。12312312（3）f(x,x,x)=x2+2x2−3x2−4xx解：∇2f(x)不是半正定，即f(x)非凸，然后判断-f(x)，经验证：∇2(−f(x))不是半正定，由此可知：f(x)非凸非凹。5.设约束优化问题的数学模型为：1122minf(x)=x2+4x+x2−4x+10⎧g1(x)=x1−x2+2≥0s.t.⎨g(x)=−x2−x2−2x+2x≥0⎩21212试用K-T条件判别点x=[−1,1]T是否为最优点。解：对于点x=[−1,1]
8、T，g(x)=0，g(x)≥0，点满足约束条件，故点X是可行解。12⎛2⎞⎛1⎞且g1(x)是起作用约束，I={1},∇f(x)=⎜−2⎟,∇g1(x)=⎜−1⎟，由∇gi(x)≥0条件下的⎝⎠⎝⎠K-T条件得：∇f(x)−∑λ∇g(x)=0,λ≥0，得到λ=2，点x=[−1,1]T满足K-T条iii1i∈I件。又因∇2f(x)正定，故f(x)为严格凸函数，该最优化问题是凸规划问题，由x*=[−1
