资源描述：
《最优化方法及其应用课后答案(郭科-陈聆-魏友华)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22min()fx=(x−3)+(x−4)12⎧5gx()=x−x−≥0⎪1122⎪⎪st..gx()=−x−x+≥50⎨212⎪gx()=x≥031⎪⎪⎩gx()=x≥042试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束hx()=x−x=0，其约束最优解是什么？12*解：（1）在无约束条件下，fx()的可行域在整个xx0平面上，不难看出，当x=（3，4）12**时，fx()取最小值，即，最优点为x=（3，4）：且最优值为
2、：fx()=0（2）在约束条件下，fx()的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点(,xx)，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12*155以看出，当x=(,)时，fx()所在的圆的半径最小。44⎧15⎧5x=⎪gx()=x−x−=0⎪⎪14112其中：点为gx1()和gx2()的交点，令⎨2求解得到：⎨⎪gx()=−x−x+=50⎪x=5⎩2122⎪⎩4*155*65即最优点为x=(,)：最优值为：fx()=448（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。2.一
3、个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：max()fx=xxx123⎧xx+2xx+2xx≤S122313⎪⎪x>0该优化问题属于三维的优化问题。1st..⎨x>0⎪2⎪x>0⎩33s3s1⎛⎞s2x=s/3,y=s/3,z=s/12v==⎜⎟1823⎝⎠习题二1TT3.计算一般二次函数fx()=XAX+bX+c的梯度。2TT解：设：A=(a),b=(,,...),bbbX=(,xx,...)x则：ijnn×12n12nnnn1f
4、x()=∑∑axxijij+∑bxii+c，将它对变量xii(=1,2,...)n球偏导数得：2i=1j=1i=1nnnn⎡11⎤⎡⎤⎡⎤⎡∂fx()⎤⎢∑ax1jj+∑axi1i+b1⎥⎢∑ax1jj⎥⎢∑axi1i⎥⎢⎥⎢2j=12i=1⎥⎢j=1⎥⎢i=1⎥∂x⎢1⎥⎢1n1n⎥⎢n⎥⎢n⎥⎡⎤b1⎢∂fx()⎥⎢∑ax2jj+∑axi2i+b2⎥1⎢∑ax2jj⎥1⎢∑axi2i⎥⎢⎥∇fx()=⎢⎥=⎢2j=12i=1⎥=⎢j=1⎥+⎢i=1⎥+⎢⎥b2∂x22⎢2⎥⎢⋮⎥⎢⋮⎥⎢⋮⎥⎢⎥b⎢∂⎥⎣⎦3fx()⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥nnnn
5、⎢11⎥⎢⎥⎢⎥⎣∂x3⎦⎢∑axnjj+∑axini+bn⎥⎢∑axnjj⎥⎢∑axini⎥⎣2j=12i=1⎦⎣j=1⎦⎣i=1⎦1T=(AX+AX)+b25.求下列函数的梯度和Hesse矩阵⎛20-4⎞2222⎜⎟（1）fx()=x+2x+3x−4xx解：∇fx()=04012313⎜⎟⎜⎝−406⎟⎠⎛xe2xx126x+exx12+xxexx12⎞（2）fx()=3xx2+exx12解：∇2fx()=⎜2212⎟12⎜⎝6x+exx12+xxexx126+xxe2xx12⎟⎠212116.判断下列函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹
6、函数：22（1）fxx(,)=−x+2x+3xx12121222解：∇fx()不是半正定，即fx()非凸，然后判断-fx()，经验证：∇−(fx())不是半正定，由此可知：fx()非凸非凹。22（2）fxx(,)=2x−4xx+3x−5x−612112212解：∇fx()半正定，故fx()为凸函数。222（3）fxxx(,,)=x+2x−3x−4xx1231231222解：∇fx()不是半正定，即fx()非凸，然后判断-fx()，经验证：∇−(fx())不是半正定，由此可知：fx()非凸非凹。7.设约束优化问题的数学模型为：22min()fx=
7、x+4x+x−4x+101122⎧gx()=x−x+≥20112st..⎨22⎩gx()=−x−x−2x+2x≥021212T试用K-T条件判别点x=−[1,1]是否为最优点。T解：对于点x=−[1,1]，gx()=0，gx()≥0，点满足约束条件，故点X是可行解。12⎛2⎞⎛1⎞且gx()是起作用约束，I={1},∇fx()=⎜⎟,∇gx()=⎜⎟，由∇gx()≥0条件下的11i⎝−2⎠⎝−1⎠TK-T条件得：∇fx()−∑λi∇gxi()=0,λi≥0，得到λ1=2，点x=−[1,1]满足K-T条iI∈2件。又因∇fx()正定，故fx()为
8、严格凸函数，该最优化问题是凸规划问题，由*T*Tx=−[1,1]是K-T点，所以x=−[1,1]也是该问题的全局最优点。8.设约束优化问题：22min
