等差等比数列知识点梳理和经典例题

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1、..A、等差数列知识点及经典例题一、数列由与的关系求由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）eord完美格式..二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n

2、项和直接判断。（1）通项法：若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；（2）前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式（A，B是常数），则{}是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。〖例〗已知数列{}的前n项和为，且满足（1）求证：{}是等差数列；（2）求的表达式。分析：（1）与的关系结论；（2）由的关系式的关系式解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，以2为公差的等差数列。eord完美格式..（2）由（1）知=+（n-1）d

3、=2+(n-1)×2=2n,∴=,当n≥2时，=2·=。又∵，不适合上式，故。【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．∵a1＝1，∴2a1＝2pa＋a1－p，即2＝2p＋1－p，得p＝1.于是2Sn＝2a＋an－1.当n≥2时，有2Sn－1＝2a＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a－2a＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－)＝0.又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n

4、－1)·＝.（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，，d,n,,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列{}是等差数列。〖例〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。求：（1）的值；eord完美格式..（2）数列{}的前n项和的公式。分析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（

5、1）由=3得……………………………………①又，得…………………②由①②联立得。（2）由（1）得，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。★2、等差数列的简单性质：略典型例题1．等差数列中,若，则225；2.（厦门）在等差数列中，,则其前9项的和S9等于（A）A．18B27C36D93、（全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=244、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(C)(A)130(B)170(C)210

6、(D)1605.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）A．2B．3C．4D．56、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.eord完美格式..　由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝2.所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

7、m－n

8、的

9、值等于________．　如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为xA＝，则xD＝.又

10、AB

11、＝

12、BC

13、＝

14、CD

15、，所以xB＝，xC＝.故

16、m－n

17、＝

18、×－×

19、＝.8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，∴d＝.∴数列{an}为递增数列．令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤，∵n∈N*.∴前6项均为负值，∴Sn

20、的最小值为S6＝－.eord完美格式..6.若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则6.7．（北京卷）（16）（本小题共13分）已知为等差数列，且，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n