2017年北京各区高考数学模拟题压轴题(含答案)

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1、1（2017海淀二模）对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.（Ⅰ）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？（Ⅱ）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.2（2017海淀一模）已知含有个元素的正整数集具有性质：对任意不大于(其中)的正整数存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于.（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）证明：“成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）若，求当取最小值时，的最大值.

2、3（2017西城二模）设集合．如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”．（Ⅰ）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若为集合的“相关数”，证明：；（Ⅲ）给定正整数．求集合的“相关数”的最小值．4（2017西城一模）如图，将数字全部填入一个行列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为，第二行填入的数字依次为．记．（Ⅰ）当时，若，，，写出的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数．试给出的一组取值，使得无论填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；（Ⅲ）求证：对

3、于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同．5（2017东城二模）对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量.对于两个维向量，定义.（Ⅰ）若，，求的值.（Ⅱ）现有一个维向量序列：，若且满足：，.求证：该序列中不存在维向量.（Ⅲ）现有一个维向量序列：，若且满足：，，，若存在正整数使得，为维向量序列中的项，求出所有的.6（2017东城一模）已知集合，并且．定义（例如：）．（Ⅰ）若，，集合的子集满足：，且，求出一个符合条件的；（Ⅱ）对于任意给定的常数以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且.（Ⅲ）已知集合满足：，，，，其中

4、为给定的常数，求的取值范围．7（2017朝阳二模）各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．（Ⅰ）当时，写出数列的前五项；（Ⅱ）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．8（2017朝阳一模）对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.（Ⅰ）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为

5、奇数；（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.9（2017丰台二模）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.（Ⅰ）若具有性质“”，且，，，求；（Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；（Ⅲ）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，互质，求证：具有性质“”.10（2017丰台一模）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列为“K数列”，且

6、其前n项和满足？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．11（2017昌平二模）设集合，.对数列，规定：①若,则；②若，则.例如：当，时，.(I)已知等比数列，，且当时，，求数列的通项公式；(II)已知数列，证明：对于任意的，且，存在，使；(III)已知集合,，．设中最大元素为，中最大元素为，求证：.12（2017.1石景山期末）集合的若干个子集的集合称为集合的一个子集族．对于集合的一个子集族满足如下条件：若，

7、则，则称子集族是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合的“向下封闭”的子集族并计算此时的值（其中表示集合中元素的个数，约定；表示对子集族中所有成员求和）；（Ⅱ）是集合的任一“向下封闭的”子集族，对,记，（其中max表示最大值），（ⅰ）求；（ⅱ）若是偶数，求．1（2017海淀二模）（Ⅰ）数列不具有性质；具有性质.（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列，是有限集，但是由于，所以不具有性质；（必要性）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即由性质的含义可得所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列

8、中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即是有限集.（Ⅲ）因为数列具有性质，数列具有性质，所以存在，使得，，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得，，若，则取，可得；若，则取，可得.记，则对于，有，，显然，由性质的含义可得，，所以所以.所以，又是满足，的最小的