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《2014年华师在线秋季《数学分析选论》在线作业》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2014年秋季《数学分析选论》在线作业1.计算,其中是圆周,，若从轴正向看出，L是沿逆时针方向运行.解：平面的法线方向单位向量为，围成方程为依斯托克斯公式得，=.2.试论下列函数在指定点的重极限，累次极限（1）,；（2）.解：(1)注意到,，故两个累次极限均为0，但是,所以重极限不存在.(2)注意到,,故两个累次极限不存在.此外，因为，所以.3.设是由方程，求.解：方程两边对求偏导，有,因而.方程两边对求偏导，有,因而.故.4.计算,其中为由平面,,,,与所围成.解：在平面上的投影区域为,于是5.设是某可微函数的全微分，求的值.解：不妨设该可微函数为，则按定义可得，，由此知.从而又得.联系到
2、上面第一式，有或,从而.6.求曲面被柱面与平面所割下部分的面积.解：曲面方程表示为,,,于是所求面积S=7.计算，其中为以，，，为顶点的正方形封闭围线.解：段：直线方程，，.段：直线方程，，.段：直线方程，，段：直线方程，，于是有，=0.8.求曲面被平面截下部分之曲面面积S.解：由得，从而。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有.9.求,其中是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解：用轴上直线段,使上半圆周和直线段构成封闭曲线.设,.有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上,有,,则.因此10.试讨论函数在处的可微性.解：因为,所以,,其中,，由此知在
3、处可微.11.求,其中S是边长为的正方体的外侧.解：利用高斯公式,得12.计算，其中为四分之一的边界，依逆时针方向.解：设，，则原式＝＝13.设由方程所确定，试求.解：对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有，即，再对上式两端对求导，得.14．求表面积为,而体积最大的长方体的体积.解：设长，宽，高分别为，则问题变为求函数的最大值，联系方程为.设辅助函数为，则有解方程组得到，因而最大体积为.15．求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.解：设.由于在全空间上处处连续,在处于是,得切平面方程为,即.法线方程为16.设,求.解：方程组两边对求偏导得到,因此有，。方程组两边对求偏导得到,因此17.设,而
4、,.求,.和解：由于,,,,于是,.18.设.求,.解：这里是以和为自变量的复合函数,它可写成如下形式,,.由复合函数求导法则知.于是,19.变换为球面坐标计算积分.解：积分区域变换为球面坐标为.于是,=20.设函数连续，,其中，，求和.解：因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便．.于是,.利用洛必达法则,有.21.解答下列问题（1）设是光滑弧上的连续函数，长度记为，则，，(2)设，，则，（3）设是曲线上从到之线段，证明:.解：(1)注意到柯西不等式，。（2）由于，，可知.采用极坐标，可得.由此知,利用题（1），有，（3）因为，所以，。.将曲线用参数式表示，即令，，且
5、取顺时针方向为正，可知22.计算，其中S是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.解：曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是,.23.讨论下列函数的连续性（1）（2）解：（1）注意到，有因此,，即在（0，0）处连续.（2）注意到,故在（0，0）处不连续.24.计算曲面积分,其中为圆锥面被曲面所割下的部分.解：对于圆锥面，则，在平面上投影区域为：，于是25.设是由直线和围成,试求的值.解：先对积分后对积分.由分部积分法,知26.设是上的正值连续函数，试证，其中是，.证明：由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因
6、此27.设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证：对于复合函数，,由于，=+，因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数.28.证明：方程所确定的隐函数满足.证明：对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得，，于是，得到29.设证明：不存在.证明：注意到,它随而异，因此不存在.30.设证明:.证明：对由于可知当时,便有.故
