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《矩阵的可对角化及其应用(1)2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、矩阵的可对角化及其应用扌商要：矩阵可对角化问题是矩阵理论屮的一个重要问题，本文通过利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，并讨论了化矩阵为对角形的具体求解方法，同时给出了可对角化矩阵在求方阵的高次慕、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、向量空间、线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换MatrixdiagonolizationanditsapplicationAbstract：Matrixdiagonolizationpr
2、oblemisanimportantprobleminmatrixtheorydiagonolizationmatrix,asakindofspecialmatrix,intheoryandapplicationhastheextremelyvitalsignificance.Thispaperhasmadediagonolizationmatrixanalysisandgeneralization,andusinghigheralgebraandlinearalgebraaregiventher
3、elevanttheoryofmatrixseveralconditionsdiagonolization,alsodiscussedthematrixofthediagonalshapeofsolvingmethod,andfinallysummarized;diagonolizationmatrixinhighpower,thepolicyofusingeigenvaluebegdeterminantbycharacteristicvalueandvalue,featurevectorreve
4、rsematrixJudgmentmatrixissimilar,vectorSpaces,theapplicationoflineartransformation,etc.Keywords：Thediagonalization;Eigenvalue;Featurevector;Similar;Lineartransformation—、预备知识：定义1卩〕：设V是P上的线性空间，O是V上的一个变换，如果对任意a,peV和kgP都有c(a+p)=o(a)+o(p),o(/:a)=/:o(a),则称
5、c为V的一个线性变换.定义2：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数入和V屮非零元素a使得a(a)=Xa,则称九为b的一个特征值，1何称a为0的屈丁特征值九的一个特征向量，由”的属于特征值九的全部特征向量再添上零元索构成的集合v入={a
6、a(a)=Xa,aGv}构成V的一个子空间，称为o的一个特征子空间.定义3:标准形的主对角线上非零元素仏⑴,〃2⑴,…，久⑴称为4⑴的不变因子.定义4卩］：把矩阵A(或线性变换T)的毎个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幕
7、的乘积，所有这些一次因式方幕(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A(或线性变换T)的初等因子.定义5:设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0,则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式.定义6国：设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如杲存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B二X6X,则称A相似于B,记为A〜B,并称由A变到B的变换为相似变换，称X为相似变换矩阵.矩阵可对角化问题是矩阵理论中最基木的问题，下面先给出矩阵可对
8、角化的几种判定定理.定理1:矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量.推论1：如果在n维线性空间V中，线性变换q的特征多项式在数域P中有n个不同的根，那么在某组基下的矩阵是对角形的.推论2：在复数域上的线性空间屮，如果线性变换。的特征多项式没有重根，那么c在某组基一K的矩阵是对角形的・（34）例1:已知。在一组基下的矩阵为A二，试问A是否可对角化？（52丿九一3-4解：由于
9、XE-A
10、=,c=（九—7）（九+2）所以特征值为—5a—2九1=7,九2=-2。由G的特征值为7,-2互异，故A可
11、对角化.定理2【4】：设线性空间V上的n维线性变换。的全部不同特征值是血仏2••入，则c可对角化的充分与必要条件为V=VXi㊉％-㊉…㊉％.证明：必要性，设（7所对应的矩阵可对角化，即存在V的一组基N坨、a„a25...a„,使o在这组基下的矩阵为••・。入“心…入互不相同,I%显然apa2,...argVx（,…，an_r^an_r^2...ang,对于任一向量aeV，则（x=X1a1+•••+%,ar]+・・・+%^+]a””+]+・・・+x“oi"=©+^2+•••+©这里©
