矩阵的可对角化及其应用 (1) 2

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1、矩阵的可对角化及其应用摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，本文通过利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，并讨论了化矩阵为对角形的具体求解方法，同时给出了可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换MatrixdiagonolizationanditsapplicationAbstract:Matrixdiagonolizationproblemisa

2、nimportantprobleminmatrixtheorydiagonolizationmatrix,asakindofspecialmatrix,intheoryandapplicationhastheextremelyvitalsignificance.Thispaperhasmadediagonolizationmatrixanalysisandgeneralization,andusinghigheralgebraandlinearalgebraaregiventherelevanttheoryof

3、matrixseveralconditionsdiagonolization,alsodiscussedthematrixofthediagonalshapeofsolvingmethod,andfinallysummarized;diagonolizationmatrixinhighpower,thepolicyofusingeigenvaluebegdeterminantbycharacteristicvalueandvalue,featurevectorreversematrix,judgmentmatr

4、ixissimilar,vectorSpaces,theapplicationoflineartransformation,etc.Keywords:Thediagonalization;Eigenvalue;Featurevector;Similar;Lineartransformation一、预备知识：定义：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和P都有，则称为V的一个线性变换．定义2：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属

5、于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间．定义3：标准形的主对角线上非零元素称为的不变因子．定义：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子．定义5：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最

6、小多项式．定义:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B=，则称A相似于B，记为AB，并称由A变到B的变换为相似变换，称X为相似变换矩阵．矩阵可对角化问题是矩阵理论中最基本的问题，下面先给出矩阵可对角化的几种判定定理.定理1：矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量．推论1：如果在n维线性空间V中，线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，那么在某组基下的矩阵是对角形的．推论2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根,那么在某组基下的矩阵是对角形的．

7、例1：已知在一组基下的矩阵为，试问A是否可对角化？解：由于所以特征值为。由的特征值为7，-2互异，故A可对角化．定理：设线性空间V上的n维线性变换的全部不同特征值是，则可对角化的充分与必要条件为V=．证明：必要性，设所对应的矩阵可对角化，即存在V的一组基，使在这组基下的矩阵为。互不相同，显然，，，对于任一向量，则这里，，于是．下证就是的一组基，显然只需证每个与特征根相应的特征向量都可由线性表出，先将分解，即，如果，那么是的属于特征根的特征向量，并且不能全为零。设其中只有，是中的k个元素，那么，这显然矛盾，故即．

8、同理可证与相应的一组基向量是的一组基，，与相对应的一组基向量是V的一组基，故V=．充分性，取的一组基且在这组基下的矩阵为，则为V的一组基，从而在此基下的矩阵，故可对角化，即所对应的矩阵可对角化．例：设A=，试判断A是否可对角化？若能，则求出可逆矩阵T使A成对角形．解：A的特征多项式得（二重），（二重）是A的两个互异的特征根，又有特征矩阵秩均为2，易得令，则为A的属于0的所有线性无关的特