高数作业(一)(答案)

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1、常微分方程第一节微分方程的基本概念1、试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.+5xy=0;(4)cos(y")+Iny二兀+1•(1)是一阶线性微分方程，是一阶非线性微分方程，因方程中含冇的©的平方项.是二阶非线性微分方程，因方程中含有的乞的三次方.(4)是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数cos。")和lny.2、设一物体的温度为100°C,将具放置在空气温度为20°C的坏境屮冷却•根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度Z差成止比，设物体的温度T与时间f的函数关系

2、为T=T⑴,则可建立起函数7(/)满足的微分方程其^k(k>0)为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.根据题意,T=T(t)还需满足条件儿=o=lOO.3、设一质量为加的物体只受重力的作用由静止开始口由垂直降落•根据牛顿第二定律：物体所受的力F等于物体的质量加与物体运动的加速度"成正比，即F=ma,若取物体降落的铅垂线为x轴，其正向朝卜，物体卜落的起点为原点，并设开始卜•落的时间是U0,物体下落的距离兀与时间f的函数关系为x=x(t),则可建立起函数x(f)满足的微分方程其中g为重力加速度常数.

3、这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，x=x(t)还盂满足条件4、验证函数)=(x2+C)sinx(C为任意常数)是方程dy(lxycotx-2xsinx=0的通解，并求满足初始条件y

4、〃=0的特解.x=—2解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将y=(x2+C)sinx求一阶导数，得—=2xsinx+(x2+C)cos兀,dx把y和世代入方程左边得dxdy_dxjcotx-2xsinx=2xsinx+(x

5、2+C)cosx-(x2+C)sin兀cotx-2xsinx=0.因方程两边恒等,H.y中含有一个任意常数，故y=(x2+C)sinx是题设方程的通解.22将初始条件)力上=0代入通解)，=(兀2+c)sin无中，得0二牛+C,C二一牛.(_2A从而所求特解为尸X2-—sinxI4J第二节一阶微分方程1、形如的微分方程为可分离变量的微分方程；形如的一阶微分方程称为齐次微分方程；形如的方程称为一阶线性微分方程.当时，这个方程称为一-阶齐次线性方程，它的通解为;当时，这个方程称为一阶非齐次线性方程，

6、它的通解为•解：形如4=/(x)g(y)的微分方程为可分离变量的微分方程；dx形如冬丄〕的一阶微分方程称为齐次微分方程；dxx)形如^-+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程.当Q(x)三0,这个方程称为一阶dx齐次线性方程，它的通解为y=Ce~iP(x)d当Q(x)三0,这个方程称为一阶非齐次线性方程,它的通解为y=jQ(x)e^PE%+CW巴皿.2^求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy的通解.解先合并心及dy的各项，得y(x-l)Jy=(y2-)dx设_1工o,x_1

7、工0,分离变量得——dy=-^—dxyL-1x-两端积分jdy=jdx得^-ln

8、y2-11=In

9、x-11+ln

10、C}于是r-i=±Cf(x-1)2记c二±Cf,则得到题设方程的通解/-i=cs-1)2.3、已知yz(sin2x)=cos2x+tan2xy当Ovxvl时，求/(%)•解设y=sin2x,则cos2x=1-2sin2x=-2y,2-22sinxsinxtanx=——==cosx1-sinx所以原方程变为f(y)=1-2y+丄，即f(y)=-2y+丄1-y1-y(i、所以f(

11、y)=一2y+dy=-y2-ln(l-y)+Gl•i—y丿故f(x)=-[x2+ln(l-x)]+C(0

12、=兰的特解.dxxxA=I6解题设方程为齐次方程，设厶则冬》+兀空，xdxdx代入原方程得u+X—=U+tan分离变量得cotudu=丄心dxx两边积分得In

13、sin«

14、=In

15、x

16、+In

17、C

18、,sinu=Cx,将u=上回代，则得到题设方程的通解为sin^=Cx.XX利用初始条件y

19、x=1=^/6,得到C=

20、.从而所求题设方程的特解为

21、sidydx'/、225、求解微分方程y2+x2^=xydxy2解原方程变形为乞='dxxy-x,(齐次方程)2-isin2=lxx2iWxdu=_u_dxu-2令"=丄，则y=ux,—=z/+x—,故原方程变为u+x—=——xdxdxdxu-分离变量得1Aydu=厶•两边积分得u-In

22、u

23、+C=In

24、x

25、nKIn

26、xm

27、=m+C.xl«M代〃=厶便得所给方程的通解为In

28、)，

29、=上+C.兀X6、求方程;/+丄y二竺兰的通解.解P(x)=-,Q(x)=^,于是所求通解为XXy=jAzr+C