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1、第二章导数与微分知识点:〔导数的定义导数的概念导数的几何意义函数可导与连续的关系导数的基木公式导数的运算导数的四则运算法则复合函数的导数隐函数的导数取对数法求导高阶导数微分微分的概念及其几何意义微分的基本公式与运算法则教学目的要求：（1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数口J导与连续的关系。（2）熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；学握高阶导数的求导方法。（3）理解微分的概念及其儿何意义；熟记微分的基木公式与运算法则
2、。教学重点：1.导数的概念2.导数的儿何意义3.导数的基木公式4.四则运算求导法则5.复合函数求导法则6.隐函数的求导法则7.一阶微分的形式不变性教学难点：1.导数的概念2.复合函数的求导法则3.隐函数的求导法则4.微分的形式不变性第一节导数的概念【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。【教学目的】使学牛•理解导数的定义，学握导数的儿何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解隊I数可导与连续的关系。【教学重点】1.导数的定义；2.用导数的定义求函数在某点的导数；3.导数的几何意义。【教学难点】
3、1.导数的定义；2.函数可导与连续的关系。【教学时数】2学时【教学进程】一、两个引例引例1自由落体运动的瞬时速度。提问：1・自由落体运动的位移公式；2.自由落体运动的瞬时速度公式；3・自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程(适当讨论)。10由学生I叫答可知白由落体运动的位移公式为S=s(t)=-gt2,由于物体的位移S是2随时间t连续变化的，因此在很短的时间间隔At内(从f()到")+△/)内，速度变化不大，可以用平均速度"詈=s(t°+；「(“))作为(°吋的瞬时速度v(t(j的近似值，即1.1AtAtAs_s(to+At)
4、-s(to)_2g(to+Atr"2gt°=gt()+丄如平均速度就无限接近山时的瞬就把它定义为物体在时刻的显然，ZV越小，丁与WG)越接近，当卜无限变小时,时速度.山此，令△一0,如果平均速度号的极限存在,瞬吋速度v(r0),即19v(t0)=lim(gt0+-gAt)=gt02总结规律：对于一般的变速肓线运动的瞬时速度可由以下式了求得:引例2平面曲线的切线斜率提问：1・什么叫做圆的切线？2.一般的平而曲线的切线怎么定义？(适当讨论)定义设点P是曲线C上的一个定点，在曲线C上另取一点Q,作割线PQ,当动点Q沿曲线C向点P移
5、动时，割线PQ绕点P旋转，设其极限位置为PT,则直线PT称为曲线C在点P的切线.如右图所示.设曲线C的方程是y=f(x),记点P的横坐标为x0,点Q的横处标为x0+Ax（Ax可正可负），PR平行x轴，设PQ的倾角为e，则PQ的斜率为圖©=箸显然tanX需二f（X°+^x_f（X（））当点Q沿曲线C无限趋近于点P吋（这吋AxtO）,（
6、）也趋近于PT的倾角oc,这吋切线PT的斜率tana=lim型=lim仏。+从）-心。）Ax&toAx综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背杲知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所
7、需结果，由此引出导数的定义。二、导数的定义1.导数的定义。定义设函数y=f（x）在点X。的某邻域内有定义，当口变量x在点X。处有增量Ax（点、x0+Ax仍在该邻域内）时，相应地函数有增量Ay=f（x0+Ax）-f（x0）如果极限lim型存在，则称函数y=f（x）在点x°处nJ导，并称此极限值为函数△XT（）Axy=f（x）在点x°处的导数.记作f'（x。），也可记作y'仁，半
8、沦或譽仁•即f（Xo）=iim^y=limf（xo^x）-f（xo）△x-»o/xmtoAx这时就称函数y=f（x）在点x°的导数存在，或称函数y=
9、f（x）在点x°可导；如果极限不存在，则称函数y=f（x）在点x°不可导。2.由导数的定义求函数的导数。设函数y=f（x）,求该函数在x°处的导数的步骤:•在x()处给定Ax(Ax0)•求增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)•算比值3二f(x°+4x)—f(x°)AxAx•取极限y'=lim型x"xoAx->()Ax例1已知函数y=xS求f'⑴。解在x0=1处给定Ax(Ax工0)(1)求增量Ay=f(l+Ax)-f(l)=(1+Ax)2-l2=2Ax+(Ax)2(2)算比值冬=2Ax+(Ax)2=2+AxAxAx(3)取极
10、限y，=lim^=lim(2+Ax)=2Ax->0Ax->0因此，f'(l)=21.儿点说明。1)函数y=f(x)在点x0处的导数也称为函数y=f(x)在点x0处对自变量的变化率。2)当极限limf(x°+Ax)-f(x°)与】曲f(x°+Ax)_f(x°)存在时,分别称它们为axto~A
