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《高中数学：函数值域的求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、xxxx教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：高二课时数及课时进度：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长/带头人签名及日期课题函数值域的求法授课时间：备课时间：教学目标掌握求函数值域的各种方法。重点、难点各种方法的灵活运用。考点及考试要求教学内容一、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.【例1】求函数尹=2—J—扌+4兀(xg[0,4])的值域.解：为便于计算不妨：/(x)=-x2+4x(/(x)>0)配方得:/(兀)=一(兀一2)2+4,(*[0,4])利用二次函数的相关知识得fx)e[0,4],从而得出[-2,2].【例2】已知函数y=(ex—+(
2、e~x—a)2(aeR,aHO),求函数y的最小值.解析：y=(^-af+(e~x-a)1=(&x+e~xf-2a(&x+e~x)+2a2-2.令t=ex+e~xffit)=Z2—2at+2a2—2.・・・/N2,：.f(t)=r-2at+2a1-2=(t-a)1+a2-2的定义域为[2,+8).：•抛物线y=j{f)的对称轴为t=cif・••当dW2且qHO时，ytllir,=J(2)=2(a-)2；为a>2时,y,„in=j{a)=a2—2.练习①求尹=sin2x-6sinx+2值域.©当1WxWlOO0时,求y=(lgr)2-21gx+3值域.二、换元法【例3】求函数尹二2兀—3+
3、J13—4x的值域.适用类型：无理函数、三角函数(用三角代换).解析：由于题屮含有V13-4%不便于计算，但如果令：Z=V13-4x注意/>0从而得：I3—f2]3_『2x=-3+/(r>0)变形得2j；=-(z+1)2+8(/>0)即：pw(—g,4]2【例4】设a,bWR,/+2/^=6,贝0a~~h的最小值是•解:Va,bWR,a+2b2=6f・••令a=y[6cosaf迈b=&sina,aGR..a+b=y[6cosa+y[3sina=3sin(a+°)..a+b的最小值是一3；故填一3.练习③已知p(x,y)是圆x2y2=4上的点，试求t-x14-j^2-3xy的值域.三、
4、反函数法（变量分类法）1_2'【例5】求函数y的值域.1+2"解：原式中xWR,将原式化为^（1+2Y）=1-2X①由①解出x,得x=log,匕土；（也可由2X=^-直接得到匕工>0）l+y1+y1+y因此函数值域是（一1,1）x+2练习④求函数7=上二的值域.3x-4四、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：，a+b^2ab（a,b为实数）；（tz>0,〃20）；J（a,b为实数）.【例6】设小y,z为正实数，工一2y+3z=0,则二的最小值为•xz，小十"x+3zHy2x2+9z2+6xz解析：
5、因为x—2y+3z=0,所以y=2，因此兀z=4xz•又x,z为正实数，所以由基本不等式，得士$一1「=3,当且仅当X=3z吋取“=”.2故士的最小值为34练习⑤当x〉（）时，求函数f（x）=Sx+—的最值，并指出f（x）取最值时兀的值.X五、数形结合法【例7]适用类型：函数本身可和其儿何意义相联系的函数类型.求函数x-2
6、+
7、x+5的值域。分析与解：由绝对值的儿何意义知：y=
8、x-2
9、+
10、x+5
11、表示数轴上的动点（不妨设为（x,0））到定点（2,0）,（-5,0）的距离之和，结合图形不难得到：yw[7,+oo）a■【例8】：求函数尹二、一如的值域.2一cosx分析与解：看到该函数的形式，
12、我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式k=y2~yl,将原函数视为定点(2,3)到动点(cosx,sin%)的斜率，又知动点(cosx,sin%)满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：r6-2V36+2娱川r—-—,—；—1练习⑤已知X+y+l=0,则J(兀_1『+(尹_1)2的最小值是六、判别式法把函数转化为X的二次方程F(x,尹)=0,通过方程有实根，判别式A30,从而求得函数的最值.判别式法多用于求形如尸：：工；；匕，d不同时为0)的分式函数的最值•卩—3x4【例9】求函数尸/
13、+3兀+4的最大值和最小值.解析：Vx2+3x+4=0的判别式A!=32-4XlX4=-7<0,Ax+3x+4>0对一切xWR均成立.・••函数的定义域为R.・•・函数表达式可化为(y-l)x2+(3y+3)x+4y-4=0.当y=l时，x=0；当yHl时，由xWR,上面的一元二次方程必须有实根，・・・A=(3^+3)2-4(y-l)(幼一4)事0,解得*WyW7(yHl).综上得歹琢=7,为山=*.2x2+4丫一7练习
