06-07-1高等数学a卷参考答案及评分标准

《06-07-1高等数学a卷参考答案及评分标准》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、C）广东工业大学试卷参考答案及评分标准（A）课程名称：高等数学（上）。考试时间：2007年1月25日（第21周星期四）一、填空题：（4分X5=20分）2acos(ax+b)esin(ax+3)dc4>/xy/x+y/x+2仮+1Sy/xyjx+y[xJx+JjT+依n)r>5arctan(/(x))+C二、选择题：（4分X5=20分）1C2C3B4D5A三、计算题(7分X4=28分)1.求:J(1+Vx)'006Zx。解：£Sj(1+Vx)，00^x=

2、严。(2f-2)dt(/=1+Vx)=2j严dt-2jt100dt=丄严—2严+c51101=—(1+Vx)102-—(1+Vx)101

3、+C51101(2分)(4分)(6分)(7分)丄2.求函数/（^）=3-2（%+1）3的极值点与极值。解:/(%)=13—2（兀+1）亍在（—00,+00）上连续，且当XH1时有2-丄/x)=--(x+l)3（2分）从而，x=：1为不可导点。(3分)X(fl)1(1,+切f——（5分）f单调下降单调下降由于导函数符号不变，因此函数无极值。(7分)壮"，43：设/(x)=1计算打（兀-2皿。」+cos兀，-l

4、解:42Jf(x-T)dx-jf(u)du(u=x-2)1-i0]2=Idu+[ue1+cosu*du0[0fdu=fdt*.1+COSll*1]■吩-11z11.(心幻

5、)2lle02je11du2=0+冷(12)（2分）（4分）（6分）411从而Jf{x-2)dx=—(1-e-5)-tg-i22yx=o=°4.求微分方程：y"+4#+4y=£3满足初始条件［解：原方程所对应的齐次方程的特征方程为厂2+4厂+4=0,解彳寻r{=r2=-2齐次方程的通解为Y=（c}+c2x）e'2x设才=似％么为原方程的特解，代入原方程并比较系数得：原方程的通解为y=Y+y=（q+c2x）e~2x+丄兀?严卜I*o=0将初始条件］111代入得：C）=0,©2=1,从而卩丨*oi「y=（x+^-x2）e~2x四、（8分）如图由y=0,x=8,y=x2m成一曲边三角形O

6、AB,在曲边OB上，求一点使得过此点所作）=疋之切线与％OB所围成的三角形而积为最大。解：过曲线上点（x,y）的切线方程为：Y-y=yX-x)的特解。（2分）（3分）1CL———o2（5分）（6分）（7分）（1分）（2分）将y=x2代入得：Y-x2=2x(X-x)该切线与X二&Y=0的交点的纵坐标与横坐标分别为:y=2x(8-%)+x2,X=-,2则切线与X=8,K=0围成的三角形面积为5(x)=—(8-—)[2x(8-x)+x2]223sx)=—x2-16x+644(4分)(5分)x=16(舍去)（6分）“号时，血）取最大值，则所求的点为吟晋(8分)五（8分）求微分方程y'sinx

7、二ylny满足初始条件刃*%=幺的特解。解:,.fdy..dyysinx=jIny—^sinx=yIny=>——-—dxyIny-dcosxdy_{dxrdinyyIny」sinxIny一cos2Xdxsin兀（3分）（5分）（6分）Inln』ln巴兰二+C2cosx+1利用初始条件yI*%=e，得出C=o,（7分）Iny=<1-cosx1一COSXJt——ny=R1〒COSX1+cosx（8分）尢2X2六（8分）证明不等式：―亍In（l+Q<—亦石证明：设f(x)=ln(l+x)-X+—=>/(0)=0,(x>0)o（1分）则fx）=—-一1+兀=二〉0（%>0）,所以函数/（兀）单

8、调上升,1+X1+XX2兀2/(x)>/(0)=>ln(14-x)-x4-->0=>ln(14-x)>x-T（4分）Y设g（x）=x:ln（l+x）=>g（0）=0,（5分）2（1+x）则gW=l_g+2!__L=X〉0（兀>0）,所以函数g（x）单调上升，（6分）2（1+x）1+x2（1+x）X2X2即g（x）>g（0）nxln（l+x）>0nx:>ln（l+x）（8分）2（1+兀）2（1+兀）七、（8分）证明：（1）方程x3-3x+C（这里C为常数）在区间［0,1］内不可能有两个不同的实根；（2）方程+px+q（其中〃为正整数，g为实数）当〃为偶数吋至多冇两个实根，当〃为奇数时至多冇

9、三个实根.证明：（1）反证法。设/（兀）有两个不同的实根曲，x2g［0,1］,/,(x)=0=>x=±1,（2分）而X=±l都不在（0,1）内,即不可能存在G（X,,兀2）U［0,1］,使•厂@）=0,矛盾。（4分）（2）n<3结论成立，用反证法证明n>4情形。n