1-1函数的基本概念和性质

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1、时间分配修订20分钟编撰黄小枚校对熊文婷二审工清玲审核危子青危子青模块基本信息一级模块名称函数少极限二级模块名称基础模块二级模块名称函数的基本概念和性质模块编号1-1先行知识模块编号知识内容教学要求掌握程度1>函数的定义域和值域1、熟悉函数的定义域和值域2、分段函数的概念2、熟练掌握分段函数的概念熟悉3、符号函数、取整函数的概念及性质3、一般掌握符号函数、取整函数的概念及性质能力目标培养学生对微积分内容的理解能力一、正文编写思路及特点思路:本模块介绍函数的基本概念和性质，为学习高数内容奠定基础。特点：通过介绍分段函数扩充学生的知识面。二、授课部分(

2、―)预备知识1•集合与区间2.常用符号(-)新课讲解1.邻域⑴点d的邻域：对于任意的正数门开区间&°+5)称为点。的以5为半径的邻域，简称为点Q的邻域，记作N(ci,»⑵去心邻域：把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点a的以》为半0径的去心邻域，记作N(d,5)・即0N(d,5)=N(a,5){a}={x

3、O<

4、x-«

5、<点d的左》邻域:(a-8,a)点d的右》邻域：⑺卫+小2.函数的定义定义：设有两个变量x和y,x的变域D是一非空数集.若对于每一个xeD,总有唯一确定的y按某种法则f与之对应，则称y是兀的函数，法则/是函数关系，记为y=/(x).

6、⑴自变量：%⑵应变量或函数:⑶定义域：D⑷值域：y的一切值所组成的数集(注：在函数定义中，函数关系/及定义域D是两个重耍因素.)3•分段函数定义：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式衣示的函数.(注：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集.)⑴绝对值函数[x,x>0y二兀二<[-x,x<0⑵符号函数l,x>0y=sgnx=

7、的卜1,[n]=3等等.函数的定义域£>(/)=(-8,+00),值域)=｛整数｝.一般地，y=[x~=n,n[x]+[y]1.函数的几种性质⑴单调性（严格）单调递增函数：设函数〉，=/（兀）在区间/上有定义若VXj,x2G/,当兀]V兀2时，恒有f（x）

8、）单调递壇函数.单调递増函数的图像（见下图）为沿横轴正向上升的曲线.（严格）单调递减函数：设函数y=/（x）在区间/上有定义若X/xi9x2el,当兀[V兀2时，恒有/（^）>/（x2）（或/（^!）>f（x2））,贝ij称/（兀）为/上的（严格）单调递减函数.单调递减函数的图像（见下图）为沿横轴止向下降的曲线.定义:设函数.f（x）在D上有定义.若存在常数M,使得对VxeD,都f（x）M）,则称/（兀）在D上有上界（或下界），冃称M为/（兀）在DJL的一个上界（或下界）.若存在M>0,使得对VxeD,都有

9、/（X）

10、

11、（力在D上有界•否则，称/（兀）在D上无界.显然,f（x）在D上有界意味着/（兀）的图像介于两条水平直线y=M与）心-MZ间•如上图所示，/⑴的图像介丁•两条水平直线y=1与y=一1之间.三、能力反馈部分（-）（考查学生对分段函数概念的理解）无+2,xv—1设函数f(x)=<-x,

12、x

13、<1,求/(2x+l)的表达式兀一2,x>1（-）（考查学生对符号函数概念的理解）1,X〉0已知符号函数sgnx=<0,x=0,求y=（l+x2）sgnx的表达式.—1,x<0