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《2018年高考数学黄金100题系列第20题函数零点的个数问题理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、【试题来源】人教版A版必修1第88页例1・【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断.【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法.而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性.【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力.【考试方向】这类试题在考査题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记、理解与应用.【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如直接求解，或数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，或借助于导
2、数研究函数的单调性，得到函数的零点个数.第20题函数零点的个数问题I.题源探究•黄金母题【例1】求函数/(x)=lnx+2x-6的零点的个数.【答案】1.【解析】/(Q的定义域为(0,+oo).V/(2)=In2+4-6<0,/(3)=ln3+6-6>0,由零点存在性定理知/(兀)有零点.又fx)=丄+2>0,・・J(兀)在(0,+oo)上是单调递增函数，X/./(X)只有一个零点.II.考场精彩•真题回放【例2】[2017高考江苏卷第14题】设/(兀)是定义在R且周期为1的函数，在区间9x9其中集合D=｛兀
3、.¥=-―,Z7GN*-,则方程/(x
4、)-lgx=0的解的个数是.【答案】8【解析】由于/We[0,1),则需考虑1<%<10的情况,在此范围内，xgQ且xwZ时，设x=—,p,qeN,p>2,P且互质.若lgxeQ,则由lgxe(O,l),可设FC床1Llgx=—,m,neNm>2,Am,n互质.mn因此1(^=2,贝iji(r=(2)〃，此时左边为整数，右边非整pp数，矛盾，因此lgx^Q•因此lgx不可能与每个周期内炸D对应的部分相等，只需考虑lg兀与每个周期x/D的部分的交点，画出函数图象，图中交点除(1,0)外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x电D的部分，且兀=1处11
5、=6、在［_2,2］上是偶函数，其图象关于y轴对称，故先考虑其在［0,2］上有儿个零点.v/(0)<0,/(1)<0,/(2)=8-e2>0,/./(x)在［0,2］上有零点.设g(x)=fx)=4x-ex•・・・g(0)v0,g⑴>0,g(2)>0,・・・g(x)在［0,2］上有零点•又由/(x)=0,可得4一夕=0,设其解为西，易知兀1g(1,2)且g(兀
7、J>0,・・・g(兀)在［0,2］上有唯一零点,设为尤0且xog(0,1)・从而当0vxv^o时，g(x)vO,即fx)<0；当x()0,故兀€(0,工0)时，/O)为单调递减函数；当XG(x0,2)时，/(兀)为单调递增函数.又/(O)8、上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大.【难点川心】一些对数型方程不能直接求出【例4］【2015年高考江苏卷】已知函数/(x)=
9、lnx
10、,0,01的个数为.【答案】4.【解析】方程等价于/(兀)+g(x)=±l,即/(兀)=-g(x)+l或/(x)=-^(x)-1共多少个根,1,0<%<1y=l—g(X)=十―1,1VXV2,数形结合可得：/(X)与7-x2,x>2y=1_g(x)有两个交点；—1,0v兀51y=_l_g(x)二｛兀2_3,]<兀<2,同理可得/(X)与5
11、-x2,x>2y=-l-g(x)有两个交点，所以共计4个.其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数.这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势(单调性，极值点、渐近线等),而且要明确其变化速度快慢.I.理论基础•解题原理1•零点的定义：一般地，对于函数y=/(兀)(xwD),我们把方程/(x)=0的实数根兀称为函数y=D)的零点.2.函数零点存在性定理：设函数/*(兀)在闭区间［恥］上连续,且/(«)/(/?)<0,那么在开区间(。,方)
12、内至少有函数/(无)的一个零点，即至少有一点无°w(d,b),使得/(无)=0.(1)/(x)在［a,b］上
