2018年高中数学黄金100题系列第22题复合函数的零点问题理

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1、第22题复合函数的零点问题精彩解读【例1】设函数/(x)=—X,0

2、数/(兀)有且仅有两个二阶周期点,a-a2+a+l12—x,0

3、a+1吋，由(x-a)=x仰乍得(1-d)八X=—-—W(Q,/—Q+1),因11-a/(X)的二阶周期点;当c厂—a+lWxWl时，(1—x)—x解得a(l-a)19X=——W(Q--d+l,l),因—CT+d+1宀1、1八1a1/(—)=•(1;)=—H—-0+d+ll-a-a2+<7+1-cr+<7+1-0+a+l故兀=—V-!—-是/(%)的二阶周期点•—CI+d+1综上：函数/(兀)有且仅有两个二阶周期点，a1X]=‘x>=•—CI+G+1—CT+d+1I.考场精彩•真题回放【命题意图】本题主要考查复合函数的零点.本题能较好的考查

4、学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大.【难点中心】解答此类问题，关键在于“抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题.【例2】【2017年高考江苏卷】设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上，/(x)=f2*XG°9其屮集合X.D,D=

5、x=—,p,qeNp>2,且〃,g互质P若lgxeQ，则由lgxe(0,l),可设lgx=—N,m>2,且w互质m因此io方=邑，贝ijiow=(-^r,此时左边为整数，右边非pp整数，矛盾，因此igx^e因此lgx不可能与每个周期内xeD对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期x/D的部分的交点，画出函数图象,图小交点除(1,0)外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x^D的部分，且兀=1处(lgx)^—!—=—!—<1,则')xlnlOlnlO在兀=1附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8./(x)=2-x,x<2,(兀一2『,兀>

6、2,函数g(x)=b—/(2—x),其中beR,若函数y=/(x)—g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()<7A<7、:7、<7JA.—+oo<4丿B.^-00,4c."丿D.aJ【答案】D.【解析】由/(兀)=2-x,x<29(尢-2)1兀>2,得f(2-x)=2—2—n0x<0x<00

7、+(x—2)2,x>2兀*—尢+2,x<0y=/(x)+/(2-x)=<2,02y=fM-g(x)=f(x)+/(2-%)-/?,所以)U/(X)_g(

8、兀)恰有4个零点等价于方程fM+f(2-x)-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=/(Q+/(2-兀)的图象的4个公共点，由图象可知-

9、・目・•15-10•••；5'*••**5

10、0

11、5-2-4-8I.理论基础•解题原理1.复合函数定义：设y=f(t)ft=g(x),且函数g(x)的值域为/(/)定义域的子集，那么y通过/的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y=f[g(

12、2“,g(兀)=兀2一兀,计算g[/(2)]・【解析】于(2)=22=4…一g[/(2)]=g(4)=12.3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求兀的解，贝I」遵循“由外到