32[1]高考数学导数

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1、高考数学导数及其应用怎么考【考点解读】1.导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积.商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。2.比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。3.命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最

2、值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。4.体系整合5.复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值.最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。热点一：导数的几何意义函数y=f(x)在点X。导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在P(x0,f(X。))处的切线的斜率

3、是V(x0),于是相应的切线方程为(X。)(x-x0),巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。【错题分析】[错例1](2004天津卷20(2))曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程。误解：f(x)=3x'-3,根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率k=广(0)=-3,所以曲线的切线方程为y=-3x+16。剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A(0,16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。正确解法：设切点坐标M(x0,x03-3x0),则切线的斜率^=

4、/*(x0)=3x02-3,切线方程y=(3x02-3)x-16,又因为点M在切线上，所以x03-3x0=3(x02-3)x0+16得x0=-2,/.切线方程为y=9x+16・【典型题例】例1:设P。(X。，y0)为曲线C:y=x3(x>0)上任意一点，过P°作曲线C的切线与x轴交于Qi,过Qi作平行于y轴的直线与曲线C交于Pi(xi,yi),然后再过P】作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(X2,y2),依此类推，作出以下各点：P09Q19Pl,Q2,P2,Q3,…，Pn，Qn+1，…，已知Xo=9，设Pn(xn,yj(n€N)。(1)求

5、出过点P。的切线方程。(2)设Xn=f(n)(n€N),求f(n)的表达式；(3)求lim(x()+X]+•••+£)的值。点拨本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数解析(1)『=3x2,VPo(9,9‘)，・・・切线PQ的斜率k()=ylx=xo=3x2lx=9=243,・••过P。点的切线即直线PQ的方程为y-9'=243(x-9),即243x_y-1458=0・(2)itPn(xn,yn)的切线的斜率为kn=3x益,切线方程为y-yn=kn(x-xn),即y-x^=3x^i(x-xn)・令y=0得X=Xn-Ar=-X,即Qn+1的横坐标为

6、-Xn,3尤33又•・•直线Qn+】Pn+l"y轴，・•・》“+1的横坐标Xn+1=-Xn,由于Xo=9,・•・数列{xn}是公比为2的等比数列/.xn=x0・(2)喀9><(2儿则f(n)=9x(Z儿(n€N)33339(3)lim(x()+X

7、+•••+*”)==27_23点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向（切点的导数）；应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。【热点冲刺】1.已知曲线y=sinx,xe（O,龙）在P点切线平行于直线x-2y=0,则P点坐标2.若a>0,f（x）=ax2+bx+c,曲线y=f（x）在点P（x,f

8、（x。））切线倾角为［0,-］,则P到y=f（x）对称轴距离为（B）4A.［0,丄］B、［0,丄］C、［0,

9、±

10、］DJO,

11、匕1

12、］a2a2a2a3・（预测题）（1990日本高考题）.设抛物线y=x?与直线y=x+a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为厶，厶求值a变化时厶与厶交点的轨迹。解答：将y=x+a代入y=x2整数得x2-x-a=0为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△=（-1）2+4a>0,所以a>4设此两交点为（a,a彳），（卩，p2）,a