数学32《导数的计算》教案(新人教a版选修1-1)

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1、§3.2导数的计算E高效预习3（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶【关注.思考】1.阅读课本第81—一82页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利川导数的定义求解叫种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和儿何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比.【领会.感悟】1.这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的儿何意义

2、是函数图象在该点处的切线的斜率【精读•细化】2.认真阅读教材83页，记住基本初等函数的导数公式，注意各公式之间的联系，特别注意对数函数与指数函数的导函数.细节提示:前血叫个常见函数的导函数实际上就是公式1、2所对应公式，对数闲数的导函数与指数函数的导函数形式不同，应注意两者之间的区别.【领会•感悟】2.基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。例1是导数的简单应用.【精读•细化】3.认真阅读教材84—一85页，识记到数的运算法则，两个函数的和（差）与积的导数的形式一致吗？两函数的商的导数有什么特征？它们成立

3、的前提条件是什么.细节提示:两个函数和（差）与积的导数的形式是不一致的，特别要注意两函数积的导数，两函数上的导数的特征非常明显，注意法则成立的前提是两函数的导数都存在.【领会•感悟】3.深刻理解和掌握到数的运算法则，在结合给定函数自身的特点，才能有效地进行求导运算；理解和掌握求导法则与公式的结构规律是灵活进行求导的前提。【学习细节】(核心栏目)A.基础知识导数的计算知识点1几个常用函数的导数【情景引入】化学中常用表示不同液体的酸碱性。/V/与液体中氢离子的浓度x(单位：mol/L)的关系是P/7=-lgx。当PH=3时，氢离子浓度的瞬时变化率是多少？由前而所

4、学知识可知，导数的几何意义是曲线在某一点处切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度。根据瞬吋变化率的意义，上述问题就是要求函数y=_lg%在•v=3处的导数。那么对于函数y=如何求它的导数？【探宄】根据导数的定义，求函数y=的导数，就是求出当2U趋近于0时，Ar所趋于的那个定值。求函数的导数的流程图：(1)求函数的改变量△}=/(x+Ax)-/(x)；(2)求平均变化率壁=仲+心)—’⑷;AxAx(3)取极限，得导数/=lim^-•但是由导数的定义去求太复杂了。所以我们要Av->0A%去寻求一种能够简单求出函数导数的方法。【思考】对于几个常见的函数

5、常数函数、一次阑数、二次函数以及倒数函数，如何求解它们的导数？【引导】显然要根据导数的定义来求.求函数的导数的流程图：(1)求函数的改变量=/(x+Ar)-/(x)(2)求平均变化率&=+卜八X).y=cc图1▲yAxAx(3)取极限，得导数/=/(x)=lim变•【探宄1］阑数>，=/(x)=c的导数因为垒=/(x+AO-/(x)=£z£=()ArArAr所以y，=lim—=lim0=0x知识拓展常数函数的导数为0,其几何意义为/00=€«在任意点的切线平行于X轴，其斜率为零。若y=c表示路程关于时间的函数，则/=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即

6、一直处于静止状态。(如图1)【探究2】函数y=/(x)=x的导数冈为A/(a-+Ax)-/(x)_x+Av-xAvAxAx戶斤以y-lim—=lim1=1Ax->0xM->0知识拓展/=1表示函数:v=I图象上每一点处的切线斜率都为1.任意一点处的切线都是函数图象本身.若)•，二又表示路程关于时间的函数，则/=1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。(如图2)【例题1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3;v，y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数。(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数屮，哪一个增加得最快？哪一个

7、增加得最慢?(3)函数y=(々关0)塘(减)的快慢与什么有关？【解析】结合函数图象，从导数的几何意义分析。【答案】函数=的导数因为&二/(x+Av)-/(x)二2(x+Ar)-2x=2AjvAxAr所以/=lim—=lim2=2；Ar-»0xAv->0同理可求得函数y=3%的导数/=3;函数;v=4x的导数/=4o如图，尚出它们的图象，(1)从图象上看，它们的导数分别表示各条直线的斜率；(2〉在这三个函数中，y=5x增加得最快，y=增加得最慢；女＜0时，々越小，减小的就越慢.【探宂3】函数y=/(x)=x2的导数因为=/(x+Ax)-/(x)二(x+Ax)

8、2-x2AxAxAxx2+2xHx+Ar2-x2Ar