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1、三、(补)势力场.势能.动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。(一)、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小,方向完全确定的作用力。即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：那么这个空间称之为力场。将F向坐标轴投影就有：X=Fx(x,y,z),Y=Fy(x,y,z),Z=Fz(x,y,z)设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。现我们计算F在力场中运动时所作的功，由功的定义知道:W=j(Fxdx+Fvdy+Fzdz)(其中L为质点运动的轨迹)L一般地讲，这个积分与质点
2、运动的路径有关。现仅讨论与路径无关的情况。这对于理解物体运动的本质是很有意义的。如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即dU=(Fxdx+Fydy+Fzdz).显然(7是坐标乙”z的函数，则定义:U=U(x,y,z)——力场的势函数。如果质点从M。运动到M,则代入上述的线积分则有：=jdU=U(x,y,z)-U(x^y^z^并且F广dududu■dx;_少；z_直（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。势函数的概念比较抽象，但在矢量场
3、的分析中具有普遍的意义。在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，市势能函数来代替势函数。现我们来看两者的关系。首先来定义势能的概念。所谓势能即：势能一一当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。显然，势能具有相对的意义。选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。现以质点为例，由定义知：质点M点的势能等于质点从M点运动到时，力场中的力所作的功。根据前面的讨论，这个功为二点势函数的差。现我们用V来表示，即:显然V是Q“Z的函数。则我们称V——势能函数。现我们将基准面M。选定为零势面，即（/（）=0故又有：v=-u这就是说，势能函数与势函数
4、仅差一个负号。由此我们又有dv厂duP—dx，ydydVdu_dvdzdz几种常见的具体问题的势能函数书上P都有。势能函数可以判断系统在某位置是否稳定。dV=0dVdxX=XMdxgw则系统在x=x0位置是渐近是稳定的o（三）、机械能守恒定律:设系统有两个位（和两个瞬时）则:t}+v}=t2+v2=常量如果设一个状态为任意位置的，一个是初始的，则上式对时间求导数，可以得运动微分方程。即由T{+V{=T+V=常量,dT一+dtdVdt=0机械能守恒定律在碰撞中常用，即碰撞前和碰撞后，机械能守恒（包括动量守恒，动量矩守恒等等）拉格朗日方程在推出动力学普遍方程时我们用
5、的是直角坐标来表示质点系的运动。一般地说用直角坐标来表示质点系的运动并不总是方便的，特别是研究多自由度的非自由质点系动力学问题中，如果采用广义坐标来研究则方便得多。设有一具有理想的完整约束（即几何条件的约束）的非自由质点系,并设此质点系具有£个自由度数，故可用k个广义坐标4,…，办表示质点系的位置。作一直角坐标系Oxyz,设质点系中任一质点的位置,可用矢量表示。显然，如果约束是非定常的，则位矢斤是广义坐标及时间的函数。即呂=斤（彳,％，•••，勿河）0=1，2,・・・必）（1）此处，〃是质点系质点的数目。实际上这里也给出了质点系的约束方程有〃一k个。旳/幻（丿=
6、12…，幻(2)西二工字呦（i=1,2,…昇2）戶1沏已知动力学普遍方程为：工（童_吨）・龙=0i=展开后得：i=i=上式中左边第一项表示主动力系在质点系中的虚位移中的元功之和，写成广义坐标的形式，即亍补龙=工00幻⑷扫1戶1式中，Q）是对应于广义坐标c[j的广义力。（左边是主动力和直角坐标表示，而右边是广义力和广义位移表示。用不同的坐标，但表示的都是主动力所作的功，是一冋事）（3）式左边第二项表示惯性力系在质点系中的虚位移中的元功之和，将（2）式代入得：〃••〃.•k才产kn.■ZipEmiE•M=£吋•乞十砌）=££・寸Mqj（5）i-i-j=d
7、qjj=i=oqj（注意上式中和式次序的交换）为了将上式中位矢对时间的导数也用广义坐标形式表示，将上式括号中的式子改写为：3qfdtdqjdt(6)现在来证明上式中有关及的两个关系式:1）、将（1）式位置矢量对时间求导数，可求得任一质点的速度(7)此式中，乞表示广义坐标对时间的变化率，称为广义速度。并且知道普和単仅仅是广义坐标及时间的函数。市此可求得一个关系式dvi芮dqdqiJ2）、将（7）式对任一广义坐标％求偏导数，得:（这里注意广义坐标相互是独立的，故匕•只是时间的函数与其他广义坐标无关）另一方面，直接对（1）式位置矢量求广义坐标％的偏导数后，再对时间
8、f求偏导数得：—（）—H
