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《【精品】常微分方程杂题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、稳定性复习题1、判断如下方程组零解(或指定平衡解)的稳定性:、X
2、^0=2x+8siny,
3、x0=y-
4、y0=2-ex-3y-cosy;xC=■占+(x・1)籀・1)2+y2，一.A2豐.：的平衡解(心)二(1,0);・2+N+y覇・1)2+)'tx(t=sin(x+y),⑷]宀吨+』5)5小？°);
5、x^=%]+eX2-cos%?,sinx,-sinx2;1x(^=-+X13与参数。的关系。
6、x^=xx+ax2+x21,1x0=ax+by,2、设常系数方程组f的系数矩阵的特征值均有负实部，试求ex+dy二次型V(x,y),使得^-V=・(？+b)
7、，并由此讨论零解的稳定性。3、设/IS阵A的特征值均有负实部，B(/)?qo,?),且满足O
8、
9、B(O-A
10、
11、dr
12、
13、B(Q
14、dfv?,A为/7?的常数阵。(1)若兀XA兀的一切解在［0,+?)上有界，则方程组霁=@+3(小的解在［0,+?)上也有界;⑵若4的所有特征值的实部小于零，则方程组霁=(4+B(/))兀的零解渐近稳定。5、设刃r阵a(q?qr0,n)(r00),且当/固定时，人⑴的所有特征值/⑴满足Re/(r)<-a(a>0)o设对任意的耳心？血，?)，有?K，其中2MK£a
15、9M市不定式严心"
16、3Meat(r/。)确定，K为正常数，贝lj霁=A(r)?x的零解是渐近稳定的。6、设/⑴iC(R〃)，/(O)=0且当兀刮qR"时，a”j=XjHj(x)0则方程组xC=.f(x)的零解是渐近稳定的。7、设a(tvqo,?),xiH-a(tyx=0的零解稳定且Q「凶)
17、击
18、(r,x):t?r(),iixii//｝上连续，且Wtz(r)
19、x
20、,/?(r,O)?0其中a(f)在[『(),+?)上非负且连续，Qa(t)dr
21、的任意解在zoVo，+?)上有界，则方程组x(t=Ax+R(r,x)的零解稳定。9、设有方程^=y?/G0u0),其中/OOIQR1)且f(y)?GV0,”y?R
22、(-?,?)则霜7?冷)的零解稳定。10、方程霁’(少(其中曲)连续)的零解稳定当且仅当tlimz??Aa(t)dr<+?oY)11、方程x"■处+KF的一次近似方程的零解是渐近稳定的，但是原方程的零解是不稳定的，其中加，咒为常数，且n?m0o12、设/⑴连续，且6()¥dt
23、坐标变换锐)十豳)下,取Lyapunov函数V(x(r),%(?))=兀2(。+兀2(门=厂2(°,则dY.=2xx^2x?(1/(r)>二.2xx??/(r),在极坐标下,需=・r2(r)sin29(r)?/(r)・Vsin2広『)?/(/),分离变量积分得V(0=V(r0)?expi
24、oZsin2^)?/(^^，即z0Wr2(r0)expr2(0=r2(r0)?exp雷^气⑴2gG)?/G皿轻¥W“(/0)expWf(s)ds働)注意到
25、(x(/),x初2=兀2(/)+x2(/)=厂2(0,可知，当
26、(x(r0),X^r0))
27、£d时，总有
28、(¥(/),兀⑺才W护exp亦f(s)ds=e2艮卩肛(/),兀⑺、£e9其中£=d?exp；由此即知零解x二0,x^=0是稳定的。解的基本理论复习题1、当斤满足什么条件时，方程x(w)=和〃连续)可能有两个解心⑴=r,勺⑴二/+*?2、设/连续可微，当料满足什么条件时，方程x^=f(t,x^L可能有两个解%](/)=/,x2(t)=sinr?3、叙述二阶方程尤论f(t,x,xT)的初值问题解的存在唯一性定理’试用逐次逼近法或压缩映射原理证明定理。4、对初值问题x0=A(t)g(x)+f(t)9x(tQ)=xQ,其中A(r),/(r)IQa,b
29、)9g(x)ta-?,?),且
30、ge
31、
32、£m,试用逐次逼近法证明其在区间上存在唯一的解。5、对初值问题x0=a(t)cosx+b(t)sinx,x(t0)=x0,其中a(t),b(t)IC(a,b),试用逐次逼近法证明其在区间上存在唯一的解。6、设在整个S平面上连续且?ABx9其中A,〃是正常数，贝!J一阶方程兀"fg)的解x=j(1)在(-?,?)上存在。7、设/(尢丿)在整个兀―平面上连续且满足Lipschitz条件,贝IJ(1)Cauchy问题忖血鮎的解儿⑴在(・？,?)上存在；卜(0)=o(2)1叽ynM=0o高阶线性方程复习题1>设方
33、程yp(Oy?+q(t)y=0中的p(tq(t)IQa.b］，且q(t)<0,则对方程的任一解y=W),函数他=丿严裂(
