常微分方程精品课程

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1、§5.3常系数线性微分方程组1．常系数线性微分方程组的解法（复特征根）    从上一讲我们已经知道，求解方程组                                        （5.20）归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理5.11，对应解是                    其中T1，T2是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（5.20）的实值解，这可由下述方法实现．    定理5.12如果实系数线性齐次方程组          

2、               有复值解其中U(x)与V(x)都是实向量函数，则其实部和虚部               证明因为是方程组(5.8)的解，所以                  由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：                  ,即U(x),V(x)都是方程组(5.8)的解.证毕. 定理5.13如果是区间(a,b)上的n个线性无关的向量函数，b1,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组                  (5.24)在区间(a,b)上仍是线性无关的.    证明(反证法)如果(

3、5.24)线性相关，那么依定义5.1存在n个不全为零的常数，使得对区间(a,b)上的所有x皆有      所以      因为线性无关，从而          从上式可知，,因为b1,b2≠0,故.即所有常数都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果λ=a+ib是特征根，则其共轭也是特征根.由定理5.11，方程组(5.20)对应于的复值解形式是                                     这里是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(5.20)对应于特征根的解，

4、记作.现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为         由定理5.12和定理5.13，它们分别是方程组(5.20)的解，并且由此得到的n个解仍组成基本解组.    例1求解方程组                                    解它的系数矩阵为                         特征方程是               即                         特征根为                           先求对应的特征向量为                           

5、  再求所对应的特征向量.它应满足方程组             即                            用2i乘上述第一个方程两端，得                          显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即                            求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是     4求它的一个非零解.不妨令，则.于是对应的解是故，原方程组的通解为               5.5.2矩阵A的特征根有重根的情形    由定理5.11，我们已经知

6、道，当方程组(5.20)的系数矩阵A的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵A的特征方程有重根时，定理5.11不一定完全适用，这是因为，若是A的重特征根，则由齐次线性方程组                             所决定的线性无关特征向量的个数,一般将小于或等于特征根的重数.若=,那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与5.5.1情形相同.若＜，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准

7、型                   其中未标出符号的部分均为零无素，而                       是阶约当块，是(5.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.    于是，在变换(5.21)下方程组(5.20)化成                          (5.25)根据(5.25)的形式，它可以分解成为m个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(5.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组                          

8、                           （5.26）