用数学归纳法证明不等式[修订]

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1、人教版选修4—5不等式选讲课题：用数学归纳法证明不等式教学目标：1、牢固拿握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。重点、难点：1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基木思路。2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。教学过程：一、复习导入：1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法

2、的步骤？(1)数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。(2)步骤：1)归纳奠基；2)归纳递推。2、作业讲评：(出示小黑板)习题：用数学归纳法证明：2+4+6+S+……+2n=n(n+l)如采用卜-面的证法，对吗？证明：①当-1时，左边=2二右边，则等式成立。②假设n=k时，(k€N,k>l)等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)当n=k+l时，2+4+6+趺•…+2k+2(k+l)2'从卸.*•n=k+l时，等式成立。由①②可知，对于任意自然数I】，原等式都成立。(1)学生思考讨论。(2)师

3、生总结：1)不正确2)因为在证明n=k+l时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式,违背了数学归纳法本质：递推性。二、新知探究明确了数学归纳法木质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。(出示小黑板)例1观察下面两个数列，从第几项起如始终小于九？证明你的结论。{aF『}：1,4,9,16,25,36,49,64,81,・・・・・・{X二2”}:2,4,8,16,32,64,12&256,512,……(1)学生观察思考(2)师生分析(3)解：从第5项起，a„<5,即n2<2n,n€N+(n>5)证明：(1)当n=5时

4、，有52<25，命题成立。(2)假设当n=k(k35)时命题成立即k2<2k当n=k+l吋，因为(k+1)2=k2+2k+l

5、Sinn0

6、Wn

7、Sin0

8、(nWN+)分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证

9、明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。证明：(1)当n=l时，上式左边=

10、SinO

11、二右边，不等式成立。(2)假设当n=k(kNl)时命题成立，即H

12、Sink9

13、Wk

14、SinB

15、当n=k+l吋，

16、Sin（k+1）0

17、=

18、Sink0Cos9+Cosk9Sin0

19、W

20、Sink0Cos（）

21、+

22、Cosk0Sin（）

23、=

24、Sink0

25、

26、Cos（）

27、+

28、Cosk0

29、

30、Sin（）

31、W

32、SinkB

33、+

34、Sin0

35、Wk

36、SinO

37、+

38、Sin0

39、=(k+1)

40、SinO

41、所以当n=k+l时，不等式也成立。由(1)(2)可知

42、，不等式对一切正整数n均成立。学生思考、小组讨论：①绝对值不等式：

43、a+b

44、W

45、a

46、+

47、b

48、②三角函数的有界性：

49、SinB

50、W1,

51、CosB

52、W1③三角函数的两角和公式。(板书)例3证明贝努力(Bernoulli)不等式：如果x是实数且x>-l,xHO,n为人于1的H然数，那么有(1+x)n>l+nx分析：①贝努力不等式中涉几个字母？(两个：x,n)②哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)(板书)证：(1)当n=2时，左边=(1+x)Jl+2x+x；右边=l+2x,因x2>0,则原不等式成立.(在这里，一定要强

53、调之所以左边〉右边，关键在于/>0是由已知条件XH0获得，为下面证明做铺垫)(2)假设n=k时(k>2),不等式成立，即(1+x)k>l+kx.师：现在要证的目标是(1+x)旳〉1+(k+1)x,请同学考虑.生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+l命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+l时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有：(1+x)k+1=(1+x)k(1+x),因为x>-1(已知)，所以1+x>0于是(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x).师：现将命题转化成如何证明不等式(1+kx)(1+x)>1

54、+(k+1)x.显然，上式中不成立.故只需证：(1+kx)(1+x)>1+(k+1)x.提问：证明不等式的基本方法有哪些？生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法.(提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用)生：证明不等式(1+kx)(1+x