思源_正能量_高中数学专题——函数(提高)

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1、高中数学专题——函数(提高)徐鑫1、已知二次函数和一次歯数乳沪_bx,其中日、b、c满足ci>b>cf护快c=0,(日，bycGR)o(1)求证：两函数的图象交于不同的两点久庆(2)求线段月*在龙轴上的射影佔的长的取值范围。【解答】(1)由y=ax2^bX+C消去y得/+2防[y=-bxca4=4庁一4日夕4(—日一c)2—4日夕4&+日c+/)=4[(护一尸+—b>c,.a>0,c<0,A—c>0,/•4>0,即两函数的图象交于不同的两点。4(2)设方程日#+加+尸0的两根为%：和屍,则be少・》X1+曲二一二X1X2=—o

2、IAxBx12=(^1—X2)2=(^1+^2)2—4X1A2aCl9er=(丄)2上二4£-4^=4—。=4百2+£+1]=4[(£+l)2+3ba2aaereraaa24c

3、m>b>c,护快日>0,c〈0,•：$>—日一c>c,解得一w(—2,——)a2・・・/(£)=4[(-)2+£+1]的对称轴方程是£=--,aaaa2-e(-2,-丄)时，为减函数，.・・也閃哙⑶12),故丘(巧,2巧)a22、已知/(x)为二次函数，不等式/(x)+2<0的解集为(-1,丄)，且对任意Q,0wRtii有/(sintz)<0,/(2+cos/?)>0.数列｛an｝满足ax=1

4、,3a=1——1—(hgN*)N+1广他)，(I)求函数/⑴的解析式；(II)设仇=丄，求数列｛仇｝的通项公式；(III)若(II)中数列｛乞｝的前几项和为S”,求数列｛5„-cos(V)｝的前n项和人.1C【解答】(I)依题意，f(x)+2=a(x+l)(x一一)(a>0),即/(兀)=。兀？+上兀一纟一？则sina=.cosp--1^/(1)<0,/(2-1)>0,得/(1)=0,即2daH彳-2=0,得。弓.・.于⑴寺+_

5、（nw+】,则叽』沽評-3”X+1>3%+1两边取倒数，得丄=3+丄，即休+严3+仇.・•.数列｛bn｝是首项为/?1=—=1,公差为3的

6、等差数列，・•・^=1+(h-1)-3=3m-2(mgN*).(Ill)vcos(bn7r)=cos(3n-2)7r=cos(n7r)=(-l)n/.Sn-cos(bntt)=(-1)z,-SnTn=-S]+S2-S3+S4+(_1)"Sn.(1)当比为偶数时Tn=(52-S1)+(54-53)++(S“=/?2+Z?4+3n2+2/i_4-（2）当料为奇数时3(n-l)2+2(«-l)刃(1+3刃一2)423、设函数f(x)=ax2+bx+c,a、b、c都是正实数,且f(l)=l.(I)若x>0,证明：f(x)・f(-)^l；(11)若正实数血、X2、X3满足Xl•

7、X2•X3=L证明:f(Xl)•f(X2)・f(X3)Ml.【解答】(I)・・・f(l)二1,・・・a+b+c二1当x>0时,f(x)•f(—)=(ax2+bx+c)•(a-^-+b—+c)xx=a2+b2+c2+ab(x+丄)+bc(x+—)+ca(x?十丄)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1XXX当且仅当x=l时取得等号.(II)(i)若X1=X2=X3=1,贝I」显然有f(X1)•f(x2)•f(x3)=1.(ii)若x】、X2、X3不全相等,则其屮必有Xi>l,xil,x2

8、xi•x2•x3=l/.由(1)可矢口f(xix2)•f(X3)Ml,Va>b、c为正实数.••任意取x>0有f(x)>0故只需证f(xi)•f(x2)>f(X1X2)即可.Vf(xi)•f(X2)=(ox：+bxi+c)・(axI+bx2+c)=a2xfxl+b2x}x2+c2+ab(xfx2+兀]x；)+bc(X

9、4-x2)+ca{x^+x

10、)f(1)•f(xix2)=(a+b+c)・(ax；兀;+bxxx2+c)二/彳卅■^-b2xlx2+c2+ab(昇兀j+坷兀？)+bc(xlx2+l)+cd(xjx；+1)(11分)Af(xi)•f(x2)-f(xix2)=

11、f(xi)•f(x2)-f(1)•f(1)•f(xi•X2)=abxiX2(X1+X2-X1X2-I)+bc(X1+X2-X1X2-I)+ca(-xfx^—1)=abxix2(xi-l)(I-X2)+bc(xi-l)(1-x2)+ca(xj2—1)(1—x；)>0(13分)/.f(Xl)•f(X2)>f(X1X2),又因f(X3)>0,所以f(Xl)•f(x2)•f(X3)>f(X1X2)•f(X3)由(i)(ii)有f(xi)•f(x2)・f(X3)Ml.(14分)4、对于函数f(x),若存在xOeR,使f(xO)=xO成立，则称xO为f(x)的不