数学剖析(西北师范大年夜学)7

《数学剖析(西北师范大年夜学)7》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、SF01（数）Ch7运用导数研究函数性态计划课时：6时P61—702001・09・08.Ch7运用导数研究函数性态（6时）§1单调性与极值判法（4时）可微函数单调性判别法：单调性判法：Thl设函数/*（兀）在区间@上）内可导•则在（a,b）内/（兀）/（或'）O在@劝内fx）＞0（或50）.证＜=）=）（证/；（x）＞0.）Th2设函数/（x）在区间（d,b）内nJ导.则在（d,b）内/（x）//（或U＞i＞对Vxg（a,Z?）,有fx）＞0（或＜0）;ii＞在（a,b）内任子区间上广（x）王0・2.单调区间的分离：/（X）的升、降区间分别对

2、■应/'（兀）的非负、非正值区间.例1分离函数/（兀）=x3—X的单调区间.更一般的例可参阅[4]P147—148E13,14.:.可微极值点判别法：极值问题：极值点，极大值还是极小值，极值是多少.1.可微极值点的必要条件：Fermat定理（表述为Th3）.函数的驻点和（连续但）不可导点统称为可疑点，可疑点的求法.Th4（充分条件I）设函数/（兀）在点兀。连续,在邻域（兀°一〃，兀o）和（兀o，兀0+力）内可导.贝IJi＞在（/。-沢兀°）内厂⑴V0,在（x0,x0+J）内厂⑴＞0时,二＞兀0为/（兀）的一个极小值点；ii＞在（兀0-5,兀0）内

3、厂（x）＞0,在（兀°,兀o+C内厂（兀）＜0时,=＞兀。为/（兀）的一个极大值点；iii＞若fx）在上述两个区间内同号，则心不是极值点.Th5（充分条件II——“雨水法则”）设点无）为函数/（兀）的驻点且厂（观）存在•则i＞当/7%0）＜0时°,兀。为/（兀）的一个极大值点;ii＞当/x（））＞0吋，无）为/（兀）的一个极小值点.证法-加也亠恤止1.X-Xqx-Xq在点X。的某空心邻域内厶®<0,=>fx)与界号,证法二用Taylor公式展开到二阶，带Peano型余项.Th6(充分条件III)设fxQ)=fxQ)=•••=/(n_1)

4、(x0)=0,W/(w)(x0)0.ffliji＞”为奇数时，兀o不是极值点；ii＞〃为偶数时，是极值点.且严）（兀。）＞0对应极小；/（w）（x0）＜0对应极大.[1JP190E3[l]P190E4最值应用问题:例2求函数/(x)=(2x-5)V^的极值.①432例3求函数/(x)=x2+—的极值.X3.函数的最值：设函数/(%)在闭区间［a.b］上连续.Fl•仅冇有限个可疑点max/(x)=max{于⑷J(b))Jg),…J(暫)}；xe[a.b]=min{/(tz),/(/?),/(%!),/(兀2)，•••，f(xn)}•函数最值的几个特

5、例：i＞单调函数的最值：ii＞如果隊I数/(兀)在区间上可导且仅有一个驻点，则当兀。为极人值点时,兀0亦为最人值点；当兀0为极小值点时，兀0亦为最小值点.iii＞若函数.f(x)在R内可导且仅有一个极人(或小)值点，则该点亦为最人(或小)值点.iv＞対具有实际意义的函数，常用实际判断原则确定最大(或小)值点.Ex[1]P195—1961,3,4,6,7；[4JP17525(4)(6),26,27(4)(5),28.两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处，输电线总长AE+BE最小.解设兀如图，并设输电线总长为L(Q・则有0

6、+EB=7x2+1+7(3-x)2+1.52,xj(3-+1.5~_(3-x)Qx?+17(3-x)2+1.52+i=>1.25/+6兀-9=0.答：……=>xj(3-x)2+1.52=(3—x)Vx2+l,解得x=.2和兀=_6(捨去).四.利用导数证明不等式:我们曾在前而简介过用中值定理或Taylor•公式证明不等式的一些方法.其实，利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种(参阅［31P112-142).本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.1.利用单调性证明不等式：原理：若//,则对X/&V0,有不等式/(a)5/(0).例5证

7、明：对任意实数a和b,成立不等式ci+bIaIb51•l+la+bl1+1nIl+

8、bY1证取/(x)=——,(x>0).fx)=->0,=>在

9、0,+oo)内f(x)1+x(l+x)・于是，illa+b0;乂他)no.则x>

10、a时，/(x)>0.（不等式原理的其他形式•）例6证明：X>—时，2ln(l+x2)>arctgx一1.例7证明：兀＞0时,.x3sin