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1、活页作业(七)反证法閒1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”正确的反设为()A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,",c中至少有两个偶数或都是奇数C.ci,b,c都是奇数D.a,b,c•都是偶数解析：a,b,c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数.其否定有g,b,c均,为奇数或d,b,c至少有两个偶数.故选B.答案：B2.己知Gb是异面直线，直线C平行于直线那么C与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：假设c//bf而由c//af可得a//b,这与a
2、,b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.答案:C3.(1)已知戸+扌=2,求证p+qW2.用反证法证明时，可假设p+q.^2.(2)已知a,bWR,a+b<9求证方程x+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根Q的绝对值大于或等于1,即假设
3、刈21.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确；(2)的假设错误D.(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p+q>2;(2)的假设正确.答•案:D4.命题“三角形中最多只有一个内角
4、是直角”的否定是•解析：最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个內角是直答案：“三角形中最少有两个内角是直角”1.用反证法证明命题“若/+方2=0,则a,b全为0（«,b为实数）”，其反设为.解析：匕，b全为0"即“a=0且b=0",因此它「的反设为“毋0或/#0",即a,b不全为为0.答案：“a,b不全为0”2.设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直.证明：假设AC丄平面SOB,如图,・・•直线SO在平面SOB内，・・・SO丄AC.TSO丄底面圆O,:.SO丄AB.・・
5、.SO丄平面SAB.・•・平面SAB〃底面圆O.这显然与圆锥的定义矛盾，・・・假设不成立，即AC与平面SOB不垂直.饨力提升》3.设x,yfz都是正实数,a=x+Kb=y+Kc=z+£则a,b,c三个数（）y厶.aA.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析：若a,b,c都小于2,则a+b+c＜6①，而a+b+c=x+~+y+~+z+丄26②，xyz显然①②矛盾，所以d,b,c中至少有一个不小于2,故选C・答案：CV.v2+34.已知旳＞0,兀]Hl且如]=A*jST，2‘…），试证："数列对任意的正整数n都满足禺
6、＞不+]”，当此题用反证法否定结论时应为（）A.对任意的正整数n,有xn=xn+]B…存在正整数弘使兀严冷+iC.存在「正整数弘使兀不+iD.存在正整数/?,使兀“W兀”+]解析：“任意”的反语是“存在一个”.答案:D1.若下列两个方程＜+（°—1）兀+/=0,^+2ax—2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是•解析：若两方程「均无实根，则/i=(d-l)2-4/=(3a-l)(-a-l)V0,/.«<—1或d>*J2=(2a)2+8a=4a(a+2)<0,~27、2或g$—1.答案：aW_2或aM—12.已知d+b+c>0,ah+bc+ca>0fcibc>0,求证：a>0,Z?>0,c>0.证明：假设°V0,由abc>0得bcVO,由d+b+c>0,得b+c>—a>0f于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<01这与已知矛盾.又若g=0,则abc=O,与abc>0矛盾，故a>0,同理可证b>0,c>0.3.设函•数/(x)在(一8,+8)上是增函数，口、/?GR.⑴若a+心0,是否有fia)+^b)—a)+A—/?)?若结论正确，请给出证明，或不正确,请说明理由.(2)若心)+")可一O+夬一b),
8、是否有g+心0?若结论正确，请给岀证明，若不正确,请说明理由.以上两结论若正「确，请给出证明，若不正确，请说明理由.解：⑴若a+b$O,则㈣+fib)初-a)+A一仍成立.证明：因为d+方$0,所以aN—b,b2—a.又/U)在(一+°°)上是增函数，所以血冋_坊,人历徹一。).两式相加，得j{a)+/(/?)—a)+j{—b).(2)若弘)土妙)刁一a)+A—b),则a+b^O成立.证明：(反证法)假设d+bVO,则a<—byb<~af而/(x)在(―°°,+8)上是增函数，以上两式相加,得.心)+/(历勺一0)+./(—历・与已知J(a)
9、+J(b)—b)矛盾,所以假设错误,因此a+b^O.12.己知函数夬兀)=总探究拓展》,如果数列｛给｝满足4=4,an+i=J(afl),求证:当心2时,恒有an<
