用函数的单调性证明不等式0

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1、用函数的单调性证明不等式0湖北省京山县第一中学陈时中1引言单调性的概念和定义是刻画函数性质的重要工具。方稈和不等式可以看作函数的特定状态，用函数的观点处理方程、不等式的有关问题，自然是情理之中的事。比如，欲证f(a)

2、延伸，因此，在中学里提倡用函数的观点处理不等式的问题具有前瞻性。2例题例1(2001年全国高考题)已知m,n^N*,且l(l+n)w.解析：本题的证明方法很多。但考虑到不等式两边结构相似，故可从函数的角度考虑。首先把不等式两边的结构变得一致，自然想到取对数，不妨取自然对数：(1+my>(1+nyo皿1+肋>山(1+巴,这时自然想到构造f(x)二皿1+Q,并mnx考察它的单调性。证明:V2

3、)二,由x22,得0V亠VI,ln(l+x)21n3>l,・•・fx)<0X21+兀即f(x)为单调减函数。又2ln(l+〃)，即mn(1+加)">(l+n)mo例2(2004年北京高考题)已知函数g(x)=xlnx,设OVaVb,证明：0

4、作是某个函数在某两点的取值,就可利用函数的单调性来处理了。证明：设F(x)二g(a)+g(x)—2g(£i兰),则F'(兀)=g'(x)-2[g(竺竺)]'=lnx—Ina+X，当0a时,Fx)2>0因此F(x)在(a,+°°)±单调递增。从而当x=a时,F(x)有最小值F(a)=0,而b>a,・・・F(b)>0,即g(a)+g(b)-2g(-^)>0o设G(x)=F(x)—(x—a)ln2,d+X则Gx)=Fx)-ln2=lnx-lnl

5、n2=lnx-ln(x+a),2当x>0时，G©)V0,故G(x)在(0,+8)上为减函数。又G(a)二0,b>a,・・・G(b)l),1)写出数列｛勺｝的前三项;2)写出数列｛勺｝的通项公式；3)证明对任意的整数加>4有丄+丄+—<-o丄调控为递减数列,比较大小。因为為°5佥8分析：用函数的观点来证不等式，就要设法把—+—+...4-a51a—Im乙

6、2[2心+（_）〃]2^"°而不等式的右边能与函数在某一点的值色二2[2宀+(-1)心]("1),所以在调控时加上一项a构造函数/（加+1）—/（加）=十+希—坯3・2曲am+乙L心站当〃为奇数时，上式右边取最大值丰，故取。詈。这样1I3?157数列/(肋是关于用的递减数列，故/(加)5/(5)=丄+丄+—-(—<-o265-2'138评注：把不等式的左边调控为单调函数后，结果反倒加强了。这样在证这样一类问题吋，就有规律可循了：设法构造单调数列！从解题的角度看，单调性的确是函数的重要性质。解题也是加强数学

7、理解的一种手段。学数学，不解题，不行。目前，竞赛数学被人曲解和谋解了，其实，人们没有看到竞赛数学对思维的训练作用。下面看一道全国高屮数学联赛难度的例题。例4(2000全国高中数学联赛题)解不等式」〒+-12_>兀3+5兀(x+1)3x+1解析：解三次不等式，是不容易的。变更观点，会发现不等式两边的结构相同：设f(x)=x3+5x,则原不等式即为f(丄)>f(x)。这样只需考察函数的单调性X+1To解：原不等式为一+-^->x3+5x,•・•广⑴=3兀2+5>0(兀+1T兀+1.•.f(X)在R上是增函数，・

8、・.f()>f(x)o>x兀+1兀+1解得一lVxVl或x<—2,故原不等式的解集为(一°°,—2)U(―1,l)o评注：此题虽为竞赛题，但解决Z道却是发端于教材的。从上面例题的演化屮，我们可以看到深刻的数学思想以习题的形式从竞赛数学向课堂教学普及的事实。这对教师的素养提出了新要求。3体会没有思想的技巧，或者说揭示不出技巧后面的思想的做法都是不足取的，违背了数学教育的育人之道，把数学变成了形式化的技巧。作为教师，