2015届绵阳一诊(理科)数学试卷及答案

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1、第8页共8页第8页共8页第8页共8页第8页共8页绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DBDACBACDA10题提示：由≥对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤-ax．若a=0，则ab=0．若a>0，则ab≤a-a2x．设函数，求导求出f(x)的最小值为．设，求导可以求出g(a)的最大值为，即的最大值是，此时．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12．-113．4014．302115．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：在区间[0，6]上．③正确．由定义：得，又所以实数的取值

2、范围是．④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)2m·n-1=．……………………………6分由题意知：，即，解得．…………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∵≤x≤，得≤≤，又函数y=sinx在[，]上是减函数，∴…………………………………10分第8页共8页 =．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ)由题知解得，即．……………………3分(Ⅱ)g(x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为．……4分①若≥2，即m≤-2时，g(x)在上单调递减，不存在最小值；

3、②若，即时，g(x)在上单调递减，上递增，此时，此时值不存在；③≤1即m≥-1时，g(x)在上单调递增，此时，解得m=1．…………………………11分综上：．…………………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ)，，由余弦定理：=52+22-2×5×2×=25，．……………………………………………………………………3分又，所以，由正弦定理：，得．………………………………………6分BCDAE(Ⅱ)以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，则，BE=2BD=7，CE=AB=5，在△BCE中，由余弦定理：．即，解得：．………………………………………………………………10分在△

4、ABC中，，即．…………………………………………………………………12分19．解：(Ⅰ)由，得：解得：．∴，．…………………………………5分(Ⅱ)由题知．第8页共8页若使为单调递减数列，则-=对一切n∈N*恒成立，…………………8分即：，又=，……………………10分当或时，=．．………………………………………………………………………12分20．(Ⅰ)证明：由，得．…………………………1分由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x

5、…………………………………………5分化简得：，∴．…………………………………………………………………6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，在取得最小值，由题意得≥0，即≥0，……………………………………8分令，则，由可得01．∴在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即，∴当01时，h(a)<0，∴要使得≥0对任意x∈R恒成立，∴的取值集合为……………………………13分21．解：(Ⅰ)由得()．由已知得，解得m=n．又，即n=2，∴m=n=2．……………………………………………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，令，，当x∈(0，1)时，；当x∈

6、(1，+∞)时，，又，所以当x∈(0，1)时，；当x∈(1，+∞)时，，∴的单调增区间是(0，1)，的单调减区间是(1，+∞)．……8分第8页共8页(Ⅲ)证明：由已知有，，于是对任意，等价于，由(Ⅱ)知，，∴，．易得当时，，即单调递增；当时，，即单调递减．所以的最大值为，故≤．设，则，因此，当时，单调递增，．故当时，，即．∴≤<．∴对任意，．……………………………………………14分第8页共8页