第 12 讲 反证法(高中版)

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1、第15讲反证法（高中版）（第课时）神经网络准确记忆！适于使用反证法的题型重点难点好好把握！重点：反证法的原理。难点：导出矛盾。考纲要求注意紧扣！了解反证法的思考过程和特点。命题预测仅供参考！1．；2．；3．。考点热点一定掌握！有些命题不易甚至不能用一般的直接证法来证明，还有些命题的结论的反面不成立是比较容易看出来的，在这样的情况下宜于使用反证法。实际上，反证法适用于证明任何问题，只不过有时简捷，有时复杂就是了。所谓反证法就是首先假定结论的反面成立，例如∥的反面就是，那么就先假设成立，然后把这一假设作为大前提，逐步推导，直至推出的结论与命题的条件、定理或是公理发生矛盾为止。如果我们

2、的推导过程是合理的，那么矛盾的产生只可能是大前提错了，也就是说，我们的假设错了。既然结论的反面不成立，那么结论当然就是成立的了。反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法。整个证明过程需要三步，第一步，假设结论的反面成立（反设）；第二步，以反设为基础进行正确的逻辑推理，导出矛盾（归缪）；第三步，因为矛盾的原因只能是假设不成立，从而证明结论成立（结论）。导出的矛盾有如下几种类型：①与已知条件矛盾；②与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；③与反设矛盾；④自相矛盾。用反证法证题时，如果结论的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结

3、论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。常用的相对立的表述有：有理/无理；是/不是；存在/不存在；平行/不平行；垂直/不垂直；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有n个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。1．利用反证法证题反证法适用的题型有：结论否定之后有明显特征的命题，结论否定之后有明显特征的命题，结论为否定语气的命题，结论为是否存在的命题，结论涉及至少、至多的命题，结论涉及唯一、无限的命题，其它类型，利用反证法对自己解题过程中产生的假设作出判断等等，下面

4、我们分类加以阐述。⑴结论否定之后有明显特征的命题例.（高一）证明：lg2是无理数。分析：因为无理数没有一般的表达式，但否定结论后成为有理数，而有理数具有一般表达式，那就是既约分数，所以使用反证法较简。证明：假设lg2是有理数，令，（为既约分数），则，即，∵为正整数，∴的个位数字为0，而的个位数字为2、4、6、8，∴不成立，∴lg2是无理数。例.（高二）设实数满足，，，…，求证：，（=1，2，3…n-1）。略证：假设，是中出现的第一个正数，即，则，由已知得（=1，2，3…n-1），∴，∴从起，有，，…，∴，即，这与已知矛盾，∴原结论成立。例.（高一）在空间四边形ABCD中，E、F、

5、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且，求证：EH、FG为异面直线。分析：PBQAHDFGCE两直线的位置关系只有三种：相交、平行、异面，而相交与平行较之异面其特征更为明显，所以证两直线异面一般使用反证法。略证：⑴设EH、FG相交于P，可证P在对角线DB上，在平面ABD内作EQ∥AD，交BD于Q，连接QF，可证及FQ∥CD。同样可证，∴，∴，与已知矛盾。⑵设EH∥FG，则，，由得，与已知矛盾。由⑴、⑵可知EH、FG为异面直线。⑵结论为否定语气的命题例.（高一）在ABC中，AD为BC边上的高，且BD=5DC，求证：C≠B+45º。DCBA证明：设：C=B+45º，则，又，∴，

6、整理得，∵∴不是实数，而B不存在，∴C≠B+45º。例．（高二）已知，试证恒有。证明：假设，∵，则，即，这与已知矛盾，∴原结论成立。点评：结论为否定语气的不等式问题。例.（高三）证明抛物线上四点组成的四边形不是平行四边形。略证：设抛物线方程为，四点坐标为A(x,y)、B(x,y)、C(x,y)、D(x,y),BACD则(I=1,2,3,4),即，，，若ABCD为平行四边形，则由AD∥BC可得，∴⑴同样由AB∥CD可得⑵由⑴⑵可得，，代入得，，A与C重合，B与D重合，而这与ABCD是平行四边形矛盾。∴原命题成立。⑶结论为是否存在的命题例.（高三）对于直线l：y=kx+1，是否存在这

7、样的实数k，使得l与双曲线C：3x-y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。解：假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则ka=-1①y1+y2=k（x1+x2）+2②③把y=kx+1代入y=3x-1得（3-k）x-2kx-2=0④由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2⑤由④知x1+x2=，代入⑤整理得ak=-3与①矛盾，故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。⑷结