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《2018版高中数学人教b版选修2-1学案：312空间向量的基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.2空间向量的基本定理【学习目标】1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法2理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.II问题导学知识点一共线向量定理与共面向量定理1.共线向量定理两个空间向量Ya//b的充要条件是，使.2.向量共面的条件⑴向量a平行于平面a的定义已知向量a,作OA=af如果a的基线0A,则就说向量a平行于平面a，记作・(2)共面向量的定义平行于的向量，叫做共而向量.(3)共面向暈定理如果两个向量a,b,则向量c与向量a,〃共面的充要条件是,使
2、知识点二空间向量分解定理1.空间向量分解定理如果三个向量a,b,c,那么对空间任一向量p,,使2.基底如果三个向量a,b,c是三个,则a,b,c的线性组合能生成所有的空间向量，这时a,b,c叫做空间的一个,记作,其中a,b,c都叫做.表达式xa+yb+zc,叫做向量a,b,c的或.题型探究类型一向量共线问题例1如图所示，在正方体4BCDJBCD、中，E在上，且忌=2帀］，F在对角线°4C上，且乔=尹求证：E,F,3三点共线.反思与感悟判定向量a,b(bHO)共线，只需利用已知条件找到x,使a=xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.跟踪训练1如图所示，在空
3、间四边形ABCD中，点E,F分别是MB,CD的中点，请判断向量EF^AD+BC是否共线?类型二空间向量共面问题例2如图所示，已知平行四边形4BCD,过平面/C外一点O作射线Q4,OB,OC,0D,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并II使OE_OF_OG_OH_~OA=OB=~dC=OD=k求证：E,F,G,H四点共面.反思与感悟(1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.(2)证明空间向量共面或四点共面的方法①向量表示：设法证明其中一个向量可
4、以表示成另两个向量的线性组合，即若p=xa+ybf则向量p,a,b共面.②若存在有序实数组(x,yfz)使得对于空间任一点0,有OP=xOA+yOB+zOCf且x+y+z=l成立，则P,A,B,C四点共面・③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.跟踪训练2已知力，B,C三点不共线，平面/3C外一点满足筋=^OA^OB+^OC,判断而，MB.说三个向量是否共面.类型三空间向量分解定理及应用例3如图所示，在平行六面体ABCD-A'BfC'D'中，AB=afAD=bfaT=c,P是C川的中点，M是CD'的中点，N是CDf的中点，点0在C4'上，且CO:QA1=4
5、：1,用基底｛a,b,c｝表示以下向量.⑴乔；⑵加；(3W；(4屁.反思与感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.跟踪训练3如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是HOBC的重心，设鬲=a,OB=b,OC=c.试用向量a,b,c表示向
6、量G//.B当堂训练1.对于空间的任意三个向量a,b,2a—b,它们一定是()A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量2.已知空间四边形ABCD，点、E、F分别是力3与/D边上的点，M、N分别是与CQ边上的点，若旋=皿亦=曲,CM=/iCB,CN=^CD.则向量丽与為满足的关系为（）.EF=MNB.EF//MND.EF^MNC.EF=MN3.设g
7、,幺2是平面内不共线的向量，已知AB=2e、+ke?,CB=e3^2>CD=2e、—血‘若力‘B,D三点共线，贝1"=.4.以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线
8、的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平血的三个向量.其中正确命题的序号是・5.已知儿B,M三点不共线，对于平^ABM外的任意一点0,判断在下列各条件下的点P与点4,3,M是否共面.(l)OB+OM=?>OP-OAx(2)OP=4OA-0B-0M.p—规律与方法•1.四点P,A,B,C共面台对空间任意一点O,都有乔=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1.2.OP=OA+xAB+yAC称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.1.证明
