2018版高中数学人教b版选修2-2学案：131利用导数判断函数的单调性

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1、第一章导数及其应用1.3导数的应用I利用导数判断函数的单调性【明目标、知重点】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).填要点•记疑点函数的导数与单调性的关系1.由区间(a,b)内函数的导数的符号判断函数的单调性:导数函数的单调性f«>0单调递壇f(x)<0单调递减fa)=o常数函数2.若函数几0在(a,仍内存在导函数且单调递增(递减)，则对一切x^(a,b)都有f(x)30(厂(x)WO),且在(a

2、,b)任一子区间内f(x)不恒为零.3.利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的定义域,解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间.当函数y=f(x)有多个单调区间时，不能用“U”或“或”把单调区间连起來，而应用“，”或“和”连起来.探要点•究所然［情境导学］以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设山“2的前提下，比较几¥

3、)与夬乃)的大小•但在函数)=几丫)比较复杂的情况下，比较刃衍)与兀⑹的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.本节我们就来研究这个问题.探究点一函数

4、的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随吋I'可t变化的函数/?(『)=—4.9F+65/+10的图彖,及运动员的速度。随时间/变化的函数叩尸(f)=—9&+6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别.答⑴从起跳到最高点，力随r的增加而增加，即⑴是增函数，於(0>0；⑵从最高点到入水，力随『的增加而减小，即处)是减函数，hf(r)<0.思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系?答⑴在区间(一8,+8)内，=1>0,丿是增函数；(2)在区间(一8,0

5、)内，=2x<0,y是减函数；在区间(0,+8)内，)「=2x>0,y是增函数；(3)在区间(一8,+oo)内，/=3“20,y是增函数；(4)在区间(一8,0),(0,+8)内，〉，'=—7<0,，是减函数.小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a,6)内，如果f⑴>0,那么函数y=J(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.思考3若函数./(x)在区间(a,b)内单调递增，那么f(兀)一定大于零吗？函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答不一定.对于任意

6、b)都有(兀)$0,且在(a,b)的任何一子区间内f(X)恒等于零.函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集.思考4如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写岀思考2屮(4)的单调区间.答不能用“u”连接，只能用“，”或“和”字隔开.思考2中⑷的单调递减区间为(一8,0),(0,+°°).例1己知导函数f(x)的下列信息：当1*4时，f(x)>0；当x>4,或时，fW<0；当x=4,或兀=1时，f(兀)=0.试画出函数几r)图象的大致形状.解当1<*4时，f(x)>0

7、,可知几丫)在此区间内单调递增；当x>4,或*1时，f⑴<0,可知几¥)在这两个区间内单调递减；当x=4,或兀=1时，f(兀)=0,这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”•综上，函数7U)图象的大致形状如图所示.反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了.跟踪训练1函数y=/U)的图象如图所示，试画出导函数f(x)图象的大致形状.y:*):!!:\Ie1Oabcx解Jr(兀)图象的大致形状如下图：yO7-7寸(J、注：图象形状不唯一.例2求下列函数的单调区间：⑴心

8、)=2』+3“一36卄1；(2)/(x)=sinx—x(00得x<—3,或x>2,由f(兀)<0解得一30,即2——>0,解得_¥<兀<0或兀>¥・又Vx>0,「.兀〉誓.3兀彳

9、—1令f(x)