311方程的根与函数的零点（2）

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1、3.1.1方程的根与函数的零点(2)项目内容课题方程的根与函数的零点(共2课时)修改与创新教学目标1•让学牛明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般"的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3•通过木节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带來的快乐.Irl”根据二次函数图象少x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.教学准备多媒体课件提出问题①己知函数f(

2、x)=mx2+mx+l没有零点，求实数m的范围.②证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点.③已知函数f(x)=2mx2-x+-m有一个零点，求实数m的范围.2④已知函数f(x)=2(m+l)x2+4mx+2m-l有两个零点，求实数m的范

3、节

4、.活动：先让学牛动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学纶及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为A=m2-4m<0或m=0,00且2(

5、m+l)#),/.m

6、a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在cW(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易1出i出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？町以利用f(a)f(b)<0,及函数单调性.解：利用计算机作出x,f(x)的对应值表:X123456

7、789f(x)-4-1.3061.0983.3865.6097.7919.94512.07914.19787654321123I1^-ZI2-图3-1-1-15图3-1-1-16变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8冇尺仅冇一个零点.证明:如图3-1-1-16,因为f(l)=-7,f(10)=3,・・・f(l)f(10)<0.・•・函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.•・・y=lgx为增函数，y=x・8是增函数，・•・函数f(x)=Igx+x-8是增函数.函数f(x)=lgx+x-8有一仅有一个零点.点评：判断零点的个数:⑴利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.

8、X—2例2已知函数f(x)=3x4，兀+1(1)判断函数零点的个数.(2)找出零点所在区间.X—2解：⑴设g(x)=3h(x)=,X+1作岀它们的图象(图3-1-1-17),两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.r—2所以两函数图彖冇仅冇一个交点，即函数f(x)=3x+——有且仅冇一个零x+1(2)因为f(0)=・l,f(l)=2.5,所以零点xe(o,l).变式训练X-101234567f(x)-7.5-32816284884172证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.证明:利用计算机作出x,f(x)的对应值表:由表和图3・1・1・15可知,f(2)<0,f(3)>

9、0,则f(2)f(3)<0,这说明躯)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+oo)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(l)>0,则f(0)f(l)<0,这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(・00,+00)内是增函数.设X1,X2^(-00,+00),且X产X2，f(xi)-f(x2)=2则+4xi・4・(2勺+4x2-4)=2x,-2A'2+4