4-2定积分的概念

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1、模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称基础模块三级模块名称定积分的概念模块编号4-2口1、极限的概念模块编号1-52、极限的运算模块编号1・7、1-8知识内容教学要求掌握程度定积分的概念理解定积分的概念熟记能力目标培养学生分析、解决问题的能力时间分配45分钟编撰王明校对熊文婷审核危子青修订人弓k云霞二审危子青一、正文编写思路及特点思路：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个具体实例，引出定积分的概念。特点：引导学生分析问题，根据已经学过的知识解决问题，同时锻炼学生的总结和提炼知识的能力。二、授课部分定积分的概念是來源于对实际问题的

2、研究，是人们在研究实际问题的过程中产生的，下面我们通过两个实例引出定积分的概念。（一）两个实例1、曲边梯形的面积曲边梯形定义:设函数冃⑴在区间［恥］上非负、连续.由直线x=a、x=b、）=0及曲线y才（X）所围成的图形称为曲边梯形.我们耍解决的问题是如何求曲边梯形的面积.总体思想：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替，每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积，则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：第一步：分割。在区间S0］中任意插入若干个分点a=xG

3、b,把［a,b］分成n个小区间［却闪］,［兀1/2〕,［兀2,兀3】,…，［乔1,无］,它们的长度依次为Axi=Xi-Xo,Ax2=兀2-兀1,…,A兀尸兀厂兀li.经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成〃个窄曲边梯形.第二步：近似。在每个小区间［3,对上任取一点以［3,对为底、/(§)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(归1,2,・・・屮),。第三步：求和。把这样得到的〃个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即A今(白)心1+f©)心2+…+/©)心“N第'由步：取极限。求曲边梯形的面积的精确值：显然，分点越多、

4、每个小曲边梯形越窄，所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值，因此，耍求曲边梯形面积人的精确值，只需无限地增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记X=max{Axi,Ax2?-••,于是，上述增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋于零，相当于令九TO.所以曲边梯形的面积为4=lim£/(§)$•2_>0/=12、变速直线运动的路程问题：设物体作直线运动，已知速度v=v(t),V(Z)是时间间隔［6/,如的连续函数，且v(r)>0,计算在这段时间内物体所经过的路程S.分析：对于匀速运动，路程二速度x时间.对于非匀速运动，当时

5、间间隔很小时，可以近似地看成匀速运动.因此可采用如卜•方法求路程S：第一步：分割。用分点a=t0

6、.},则当兄tO时可以得到路程的准确值为以上两个例子一个是儿何问题，一个是物理问题，但解决问题的数学方法是相同的。用这种数学模式解决的问题还有很多，例如，求变力沿直线做功问题，求质量分布不均匀的细杆的质量问题等。我们略去其具休含义而抽象出具数学模型，便得到一个重要的数学概念----定积分。(―)定积分的概念1、定积分的定义定义设函数./U)在S0］上有界，在［。0］中任意插入若干个分点a=x()

7、在每个小区间［耳诂］上任取一个点§(柏対<幼，作函数值/⑷与小区间长度心‘的乘积/($)心(归1,2，…肋，并作出和记九=max{M,Ax2,…,A%"},如果不论对［。0］怎样分法，也不论在小区间氏-*］上点§怎样取法，只妾当九TO时，和S总趋于确定的极限/,这时我们称这个极限/为函数/©)在区间切上的定积分，记作即其111/(-V)叫做被积函数/(x)dx叫做被积表达式，无叫做积分变量叫做积分下限0叫做积分上限,［。0］叫做积分区间.根据定积分的定义，引例1的曲边梯形的面积为A=£7(x)^.引例2中的路程可表示为S=Cv（t）dt.J

8、a说明：（1）定义中和式的极限存在是指，不论小区间怎样分、点、&怎样取，当2t（）时£.f（g的极限都存在且为同一个数。（2）定积加常值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的