线性代数第五章答案

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1、第五章二次型-、温习巩固1、写出下列二次型的矩阵2.1)-12)解:（2解:讨21.写出下列矩阵对应的二次型1)解：f(xl,x2,x3)=xl2)3)(11--12丄323)解：A=22-1--112丿11A2打6）解:1丿flA=35解：/(xpx2,x3)=3%j2-%2+2球解：/（兀“兀2，尢3）=彳+2兀；+3兀；+2兀］尢2+4兀］兀3+6兀2尢3解：f（x］,x2,xi,xA）=x；+2%；+3x；+2XjX2+4x“3+6%2兀3判定下列二次型的正定性1）解：/（兀［,兀,兀3）=3兀;+6尢

2、兀3+€-4兀2兀3+*球的矩阵为4)<3

3、0<31-23、-28>-15〕79,/

4、A

5、=3>o,肉I二3>o,

6、a3

7、=

8、a

9、=o01-23-283>0,所以/（兀

10、,兀2,兀3）为正定2）解：此二次型的矩阵为'320A=22202132039顺序主子式

11、3

12、=3,'_=2>0,222=-4<0.所以此二次型不是正定二次型.220213)解/(兀i",兀3)的矩阵为‘久-100、A=0久-3,-3厂2—101^1=2—1>0,

13、A7

14、==(A—1)A>0,

15、A3

16、=

17、a

18、=(/I—1)(22—9)>00zt从而兄>3,故当A>3时，二次型/为正定.二、练习提高001.解：此二次型的矩阵为A=0

19、1100,特征多项式/(A)=0-10A-10-10=(2-1)2(2+1),A1对应人=易=1有特征向量011，对应4=-1有特征向量0°肯10，并令X=PY9则二次型/Cm兀2，兀3)=2兀必+用可化为才+处-天。°京10-12.解：此二次型的矩阵为A=010-101A-1特征多项式/(A)=010A-1010=2(/1-1)(2-2),A-10T对应人=1有特征向量1,对应^=2有特征向量00-11对应人=0有特征向量01取P二010，并令X=PY9则二次型"彳+球+球一2西兀3可化为近+2)彳。1n-I石°石t-12.解：此二次型的矩阵为A二r12,

20、二次型正定的充要条件为此矩阵正定，即要求-1251t-11t4>0,r12>0,解得一―v/vO。t15200_200_「100_4.解：此二次型的矩阵为A=03a,由题意知道人=03a与对角矩阵A=020相0a30a3005似。200所以

21、A

22、=03a=10,解得0=2。也已知道矩阵A的特征值为1,2,5。0a3_0_T'0'对应人=1有特征向量1,对应入=2有特征向量0,对应人=5有特征向量1-101010所以可以取P二肯0吉。d0丄L血u创5.证明：(1)证明：Vx^O,Ux^O(因为(7为可逆矩阵)f=xtAx=xT(UTU)x=(xTUT)(Ux)

23、=(UxY(Ux)=

24、

25、Or

26、

27、2>0,所以f=xTAx为正定二次型。(2)证明：参考片35推论5.2。(3)证明：若4为正交矩阵，则AtA=E,从而”Av『=(Ar)/(Ar)=(/4厂)(Ar)=*(AS)x=*Er=x2o三、思考与深化1・验证并思考：二次型/(Xj,x2,x3)=25兀：+20xlx2+22x1-16x2x3-4%,x3+16兀：经过正交变换22则椭球面方程25彳+20西兀2+22#-16兀2兀-4西兀3+16#=36化成了标准形式巳~+专■+天=】・解:分析：记二次型mZW=1-437(15)◄设十底〃(珀，把(14)式写成下式(1

28、6)1「w—"■1+。⑴h其中0(1)当Afo吋是无穷小屋.从(16)式看出，差式几航的符号完全由右端方括号巾的畳的符号决定，我们现在来研究它.向it•=($『・・、話)的范数显然是1，二次型(15)看成h的a»r^BR-上连续，因此它在单位球面・’.S(0;l)^{x6Rw

29、fx

30、=l}上连续且有界，但是球面S是R«•中的有界闭集.即紧集，于是二次型(15)在鸟上取得故小值协与最大值M.如果公式(】5)是正定的，那么有OVmWM.并且可找到一个使时有

31、o(l)

32、«0<1*

33、<6时，d町一f©)>0

34、.此点xG是函数/的严格局部极小值点.注：二次型(15)对应的矩阵是a2/a2/dx]dxldx}dx2a2/97dx2dx]■■dx2dx2■•■d2f•a2/dxmdx}dxmdx2d2fdx2dxm■■a2/dxmdxHl(Q通常称为是函数给定点的Hesse矩阵。解：(3)考虑函数/(x,y)=sin(x)sin(y)在开区域(0,2兀)x(0,2兀)内可能的极值点。”-axdfa>=cos(x)sin(y)=0sin(x)cos(y)=0又记A(P)=小、i、2‘2埶。)W(p)訓孰P)-100-1A(P2)=A(P4)=32),W)件(¥f),咲啄

35、劭7r-sin(x)sin(y)cos(x)cos(