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《2018年高考数学二轮复习专项精练压轴大题突破练（四）函数与导数（二）理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、(四)函数与导数(2)1.(2017•湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)已知函数g(0=3e-6(1—/Z7)x—3(zw^R,e为自然对数的底数).(1)试讨论函数fd)的零点个数；(2)证明：当/〃>0且x>0时，总有(劝.⑴解fx)=/—3/—///的零点个数即为方程x—?>x=ni的根的个数.记A(%)=/—3x,则力’(x)=3x(x—2),令力'(%)=0,得x=0或x=2.当/变化吋，力'(方，力匕)的变化情况如下表：X(一°°,0)0(0,2)2(2,4-oo)F3+0—0+力37极大值0极小值一4/故可画出/7(方的
2、草图如图所示.由图象知，当〃K—4或刃>0吋，函数fd)有一个零点;当仍=一4或刃=0时，函数f(x)有两个零点；当一4〈〃/<0时，函数fd)有三个零点.(2)证明f(0=3#—6/,记函数=gd)~ff(力=3e"-3#+6〃圧一3(00),则u'(x)=3(ev—2x4-2/77),记u(x)=e"—2x+2/〃，则/(x)=e'—2,当/变化吋，/(x),的变化情况如下表：X(0,In2)In2(In2,+°°)—0+心极小值7由上表可知,v(x)^F(ln2),而r(ln2)=eln2—21n2+2/n=2—21n2+2/zz
3、=2(/7/—In2+1),由刃>0知，/7/>ln2—1.所以r(ln2)>0,所以y(x)>0,即M(x)>0,所以“(x)在区间(0,+s)上为增函数，所以当Q0时，u(x)>〃(0)=0.即当刃>0且%>o时，g3>尸3.2.(2017届江苏省南通、扬州、泰州模拟)已知函数f(x)=ax+cos,记的导函数为•(1)证明：当已=*时，呂(劝在R上为单调函数；⑵若f(x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围；(3)设函数力(x)的定义域为/?,区间(/〃，+b)CZZ若力(劝在(/〃，+s)上是单调函数，则称力(x)在〃上广义单调
4、.试证明函数y=f(x)~xlnx在(0,+°°)±广义单调.(1)证明当臼=£口寸，f(x)=*，+cosX、所以尸(x)=x—sinx,即g{x)=^r—sinx,所以(x)=1—cos所以g(0在R上单调递增.(2)解因为财=f(0=2^—sin”所以g(力=2日一cosx.①当时，0(劝21—cos所以函数尸(方在R上单调递增.若才>0,则r(%)>r(0)=0；若*0,则尸(%xr(o)=o,所以函数代方的单调递增区I'可是(o,+-),单调递减区间是(一g,0),所以广(方在/=0处取得极小值，符合题意.②当臼W—*时，£(
5、方W—1—cos丸W0,所以函数尸(0在R上单调递减.若x>o,则f3a(o)=o；若*0,则尸(力〉f(0)=0,所以f(x)的单调递减区间是(0,+->),单调递增区I'可是(一8,0),所以代方在%=0处取得极大值，不符合题意.COS③当一时，（0,兀），使得cos必=2曰，即0（必）=0,但当x^.（0,必）时,x＞2af即（劝＜0,所以函数f（x）在（0,必）上单调递减，所以尸3〈尸（0）=0,即函数f（x）在（0,X。）上单调递减，不符合题意.综上所述，日的取值范围是土，+-＞）（3）证明记h{x）=ax+cosx~xx
6、（x〉0）.①若臼＞0,注意到Inx＜x,则In扌，h‘(x)=2ax~sin1—Inx>2ax~2y[x~2c（厂1_寸4卄1丫厂1+山卄1=2忖一—一—l+p4臼十12a)"时，力'3＞0,所以当m=1+p4$+12a'吋，函数力（0在S,+®）上单调递增.lif(x)=2&x—sin1—InxW—sin1—InKO,所以当/〃=1时，函数力（0在（刃，+°°）上单调递减.综上所述，函数y=f（x）—xlnx在区间（0,+8）上广义单调.3.（2017届天津市耀华中学模拟）己知f（x）=2x+l-eia（XR）.（1）讨论fd）的单
7、调性；2（2）若加壮为方程f（x）=1的两个相异的实根，求证：忌+疋＞-.a⑴解r（劝=2—死，当臼W0吋，f（x）在（一8,+8）上单调递增；（12、当00吋，fd）在一8,-In-上单调递增，I&可+上单调递减.（2）证明孟，疋为方程A%）=1的两个相异的实根，则孟，匕为方程2无一的两个相异的实根，即山,曲为方程劲=ln（2方的两个相异的实根，2X+X2只需证明所以2¥!=ln(2必),乩¥2=ln(2/2)•不妨设匿>卫〉0,则a>0,!X]In—所以$(加一疋)=ln—,即a=X2X—X22要证明刃+曲>一0&>a即证明in
8、>g‘(r)-12(+)—2(Lm(十+1)22+1严23—応)Xl+x2g(0=ln广_；；；)>0(t>l),g(l)=O.所以函数g&)在仃，+->)上单调递增,所以g(f)>g⑴=0,所以X3=成立
