2018年高考数学二轮复习 专项精练 压轴大题突破练（三）函数与导数（1）理

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1、(三)函数与导数(1)1．(2017届北京市朝阳区二模)已知函数f(x)＝ex＋x2－x，g(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R.(1)当a＝1时，求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y＝g(x)切于点(1，c)，求a，b，c的值；(3)若f(x)≥g(x)恒成立，求a＋b的最大值．解　(1)当a＝1时，g(x)＝x2＋x＋b，F(x)＝ex－2x－b，则F′(x)＝ex－2.令F′(x)＝ex－2>0，得x>ln2，所以F(x)在(ln2，＋∞)上单调递增．令

2、F′(x)＝ex－2<0，得x0，所

3、以此时h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(ⅰ)若a＋1＝0，则当b≤0时满足条件，此时a＋b≤－1；(ⅱ)若a＋1<0，取x0<0且x0<，此时h(x0)＝ex0－(a＋1)x0－b<1－(a＋1)－b＝0，所以h(x)≥0不恒成立，不满足条件；②当a＋1>0时，令h′(x)＝0，得x＝ln(a＋1)；由h′(x)>0，得x>ln(a＋1)；由h′(x)<0，得x

4、必须有“当x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－b≥0”成立，所以b≤(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)，则a＋b≤2(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－1.令G(x)＝2x－xlnx－1，x>0，则G′(x)＝1－lnx.令G′(x)＝0，得x＝e.由G′(x)>0，得0e.所以G(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以，当x＝e时，G(x)max＝e－1.从而，当a＝e－1，b＝0时，a＋b的最大值为e－1.综上，a＋b的最

5、大值为e－1.2．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋

6、160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0，可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，

7、此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．3．(2017届天津市红桥区二模)已知函数f(x)＝lnx－ax＋(a，b∈R)，且对任意x>0，都有f(x)＋f＝0.(1)用含a的表达式表示b；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x10；(3)在(2)的条件下，判断y＝f(x)零点的个数，并说明理由．解　(1)根据题意，令x＝1，可得f(1)＋f(1)＝0，所以f(1)＝－a＋b＝0，经验证，可得当a＝b时，对任意x>0，都有f(x)＋f＝0，所以b＝a.(2)由(1)可

8、知，f(x)＝lnx－ax＋，且x>0，所以f′(x)＝－a－＝，令g(x)＝－ax2＋x－a，要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则y＝g(x)有两个不相等的正实数根，所以或解得0