圆锥曲线常见题型解法

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1、圆锥曲线常见题型解法【方法点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量。【变式演练1】双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交于双曲线P，Q两点，若，求双曲线方程。题型二圆锥曲线的几何性质解题方法利用圆锥曲线的几何性质解答例2已知椭圆，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.解：因为AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，即·＝－1，即b2＝ac，所以a2－c2＝ac，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，所以e＝(舍负)，故选B.【小

2、结】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于的方程。【练习】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若恰好将线段AB三等分，则(　　)A．＝B．＝13C．＝D．＝2题型三圆锥曲线的最值问题解题方法一般利用数形结合和函数的方法解答例3已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值．（2）分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．Ks5u令x+y=u，则有x=u-y,代入+4(y

3、-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0．又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×≥0．∴（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。题型四圆锥曲线的范围问题解题方法一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答。例4已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠的取值范围；Ks5u【方法点评】由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有

4、异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.【变式演练4】设、分别是椭圆的左、右焦点。（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。题型五直线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答。例5已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存

5、在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。故直线由　消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。Ks5u题型六圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式和数形结合解答。例6已知曲线及有公共点,求实数a的取值范围．可得：=2(1-a)y+-4=0．∵△=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴.如图2－47，可知：椭圆中心,半轴长,抛物线顶点为,所以当圆锥曲线在下方相切或相交时,.综上所述,当时,曲线与相交.【变式演练6】设椭圆，抛物线。（1）若

6、经过的两个焦点，求的离心率；（2）设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。题型七圆锥曲线的定点和定值问题解题方法过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问题，直接求解就可以了。例7在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的Ks5u轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.（I）求轨迹C的方程；（II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.解：（1）的距离之和是4，的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方

7、程为…………3分（2）将，代入曲线C的方程，整理得…………5分因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，所以①设，则②…………7分即经检验，都符合条件①当b=2k时，直线的方程为显然，此时直线经过定点（-2，0）点.即直线经过点A，与题意不符.当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点A.Ks5u综上，k与b的关系是：且直线经过定点点【方法点评】证明曲线过定点，一般先求曲线的方程，再证明它过定点。【变式演练7】在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足

8、AB

9、=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；(2)为

10、定值.又点在抛物线上，则．整理得为所求轨迹方程．【方