正方形的性质与判定讲义

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1、正方形的性质及判定一、知识点归纳（一）正方形的概念：一组邻边相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性质：1、因为ABCD是正方形Þ正方形是轴对称图形，对称轴有4条，也是中心对称二、例题讲解考点①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合1.如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°2.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°.3.如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：（1）∠E=22.5°；(2)∠AFC=112.5°；(3)∠ACE=135°；（4）AC=CE；(

2、5)AD∶CE=1∶.其中正确的有（）A．5个B.4个C.3个D.2个4.如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.5.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.考点②正方形与旋转结合1.如图1，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为（）A.90°B.60°C.45°D.30°2.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图2所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__

3、_________.3.如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．考点③正方形对角线的对称性1.如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=.可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于.思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并加以说明.2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥

4、EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是．思考：当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.考点④正方形的折叠1.如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是.2.如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是.3如图3，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3

5、DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是.课后练习1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.2.在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+12B.12+6C.12+D.24+63.正方形的面积是，则其对角线长是________.4.如图，在正方形ABCD中，△PB

6、C、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM=QM.5.如图4，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？6．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.试判断PE与PB的关系.7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内

7、，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值为.8.如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．(1)如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．（三）正方形的判定：Þ四边形ABCD是正方形1、判断:（1）四条边都相等的四边形是正方形。（）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正

8、方形。（）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（）（