2.4平面向量的数量积（习题课）

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1、2.4平面向量的数量积（习题课）一、知识要点：1．向量的夹角：已知两个向量和，作，，则（）叫做向量与的夹角。当时，我们说与垂直，记作．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积,俗称点乘），记作，即．两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；特别注意：(1)而,后者是向量，前者是数！3．数量积的几何意义：的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。4.向量数量积的运算律1．交换律：2．3．．【注意】：(1)(2)不成立！不成立！5.数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则①

2、；②当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；③；④；6.向量数量积的坐标表示：设，则，∴.从而得向量数量积的坐标表示公式：．7.长度、夹角、垂直的坐标表示：①长度：Þ；②两点间的距离公式：若，则；③夹角：；④垂直的等价条件：∵，即（注意与向量共线的坐标表示的区别）二、典例分析：题型1.平面向量数量积的直接运算【例1】（1）(05上海高考)在中，若,求.(2)已知，，，其中，求的值。【点悟】（1）注意根据向量的方向来确定夹角的大小。（2）正确运用运算律。题型2.利用平面向量数量积解决长度问题【例2】已知（1）若，求。（2）若的夹角为，求；（3）

3、若=2，求。【点悟】利用平面向量数量积解决长度问题的常用处理方法：①或；②。题型3.两向量的夹角问题【例3】（1）设平面上有四个互异的点，已知求的形状；（2）向量满足，且求夹角的余弦值；（3）向量满足，，求夹角的余弦值。【点悟】向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算中不仅要防止计算错误的发生，还要区分运算的种类，从而保证运算的计算结果准确无误。题型4.利用平面向量数量积解决垂直问题【例4】（1）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的三条边的线的交点。（2）P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的心。（3

4、）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=（4）已知与的夹角为,若向量2+与+垂直,求实数的值.题型5.平面向量数量积的坐标运算【例5】已知、、是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且//，求的坐标；（2）若且+2与-2垂直，求与的夹角.题型6.利用平面向量坐标运算解决垂直问题【例6】（1）在中，,边上的高为。求的坐标。（2）在上是否存在一点，使?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。题型7.平面向量的长度、距离和夹角公式的应用【例7】已知四边形顶点分别为,判别四边形的形状。题型8.平面向量数量积的综合应用【例8】已知

5、与的夹角为,若向量+与+的夹角为悦角,求实数的范围。【例9】已知向量，（1）证明：；（2）若存在不同时为零的实数和，使,,且，求函数关系式。【例10】已知若长度为的线段以点为中点，问当与的夹角为何值时，的值最大？