球面几何及其应用(II)

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1、球面几何及其应用（II）430062　湖北大学数学与计算机科学学院　李光汉４　球面几何和欧拉定理由于同半径的球面都是相似的，在不影响研究的具体问题时，我们通常取单位球面作为研究平台。本节我们介绍球面几何定理在欧拉定理中的应用，而且所涉及的球面都是单位球面。4.1球面多边形的内角和在第一讲中我们已经知道，单位球面上，任意二点、的距离是连接这两点的不超过的大圆弧的长。因此我们可以定义球面凸边形是指()和均由长度不超过的大圆弧连接而成的图形。特别地，球面三角形是指、、分别由长度不超过的大圆弧、和连接而成的图形。球面三角形的内角是指构成该角的两条大圆弧的切线的夹角。由第一讲命题2

2、.2我们知道，球面三角形的内角和大于，即引理4.1　在单位球面上任给球面三角形，其面积为，则三角形的三内角和为，即。球面三角形的内角和公式可以推广到球面凸多边形上去。推论4.２　在单位球面上任给球面凸边形，其面积为，则该边形的个内角和为，即。(#)证明(用归纳法)　当时，它就是引理1.1，球面三角形的内角和定理。假设推论４.2对于单位球面上的球面凸边形成立，现在考虑单位球面上的球面凸边形，设之为，其面积为。用大圆弧把、连接起来，并使得的弧长不超过。由于多边形是凸的，这时大圆弧一定位于凸多边形的内部。于是原来的球面凸边形被分成球面三角形和球面凸边形。设球面三角形的顶点所对应

3、的三角形内角记为,顶点所对应的内角记为，而球面凸边形的顶点7所对应的球面多边形的内角记为，顶点所对应的球面多边形的内角记为。由前面的做法显然有，，其面积有下列关系。故由归纳假设知此即我们证明了推论4.2成立。4.2欧拉定理的证明首先我们来定义空间中的凸(胞)腔.定义4.1空间中的一个凸二维(胞)腔是指平面上的一个凸集,它的边界含有有限多条线段,称为棱,这些线段相会于点，称为顶点。一个凸三维（胞）腔是指空间中的一个凸集，它的边界是有限多个二维（胞）腔的集合，这些二维(胞)腔称为面。它所有二维（胞）腔的棱和顶点也称为该三维（胞）腔的棱和顶点。一个凸三维（胞）腔的边界顶点数用表

4、示，棱数用表示，二维（胞）腔数，即面数用表示。于是我们有下面关于三维（胞）腔的顶点数、棱数和面数的欧拉公式命题4.3（欧拉定理）三维（胞）腔的顶点数，棱数和面数有下列关系：。（$）证明设是所给的凸三维(胞)腔的边界,显然它由个平面凸多边形构成,而每个凸多边形都是一个二维(胞)腔(见定义4.1)。设是内一点，即它不在所给凸三维（胞）腔的边界上，把边界投影到以为中心的单位球面上。由于是凸的，这是可能的。实际上，可以取的一个二维（胞）腔的一条棱，该棱和点决定一个平面，平面和单位球面的交线即为该棱在单位球面上的投影。通过此法每条棱在单位球面上都有投影，从而三维（胞）腔的整个边界都

5、投影到了单位球面上。根据上面的做法及凸集理论，球面上每点刚好被覆盖一次，这样就得到了单位球面上由球面凸多边形构成的网络。这时是由个球面凸多边形构成的。而且每个球面凸多边形都是所给的原凸三维（胞）腔的边界的二维（胞）腔在单位球面上的投影。因此单位球面上的网络7所含的球面凸多边形的个数、边（或棱）数和顶点数分别与所含的平面凸多边形的个数（即三维胞腔的面数）、边（或棱）数和顶点数相同。用表示第个球面凸多边形。对每个球面凸多边形，由球面凸多边形的内角和定理（#）有。（%）其中为该球面凸多边形的边数,为该球面凸多边形的面积。对于固定的，是该球面凸多边形的个内角。现对一切球面凸多边形

6、求和，则因为每个顶点处的诸角和是（球面上一点处，过该点的大圆弧的切线在一个平面上），由于共有个顶点，从而所有多边形的内角和应为，即。由于每条棱为两个多边形共有，故即。显然又有且整个单位球面的面积。于是（%）式对求和有。整理即得（$）式，从而完成了欧拉定理的证明。4.3空间中正多面形的讨论此小节我们利用欧拉定理($)式讨论空间中的正多面形的个数问题。给定空间中一个任意的凸多面形，它是一个凸三维(胞)腔的边界，设其面数、边（棱）数和顶点数分别为、和。设为该多面形上具有边（棱）凸二维(胞)腔的个数，也就是边（棱）数为的面的个数。显然且。（1）由于每边属于两个相邻的多边形，所以（

7、即所有多边形的边数和）。7（2）设为多边形上有条棱相会的顶点的个数。由于空间中的一个多面形至少有4个面，故过每个顶点至少有3条棱，即有。（3）由于每条棱有两个顶点，于是有（即汇聚于所有顶点的边数的总和）。（4）把（1）、（2）和（3）代入欧拉定理（$）式得。（5）把（1）、（3）和（4）代入欧拉定理（$）式得。（6）上述两式相加得,或者。把求和中的、和、写成单项并合并有。由于上式右端全为非负的数，故有推论4.4每一个凸多面形(或多面体)或者有三角形的面，或者有三棱形的顶点，也可能兼有二者。以2乘以（5）式，再与（6）式相加得，