高三复习知识梳理之四导数及其应用

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1、高三复习知识梳理之四：导数及其应用【考点综述】考查的基本原则是：重点考查对导数概念本质的理解和计算，力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际

2、意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。【重点知识】1.平均变化率及瞬时变化率：(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率：（2）函数f(x)在x0处的瞬时变化率：==2.导（函）数的定义：（1）．在点x0处可导存在、都存在且相等。（2）．在一点x=x0处的导数为==（3）．若对任意都有=成立，则函数在区间上可导；在端点a、b处判断是否可导的方法是：若存在，则在（a,b]上可导；若在存在，则在[a,b）上可导；若，都存在，则在[

3、a,b]上可导。注：新课标对极限要求降低，上述定义涉及的极限表达式仅供理解定义本质时作参考。3.基本初等函数的导数公式①为常数）；②但不为零）；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧4.导数的四则运算法则若的导数都存在，则①；②为常数）；③；特别地，；④5.复合函数求导公式（课本20～21页）（1）复合层次的划分：对较为复杂函数准确求导的前提是：会熟练地进行复合函数层次的划分。以基本初等函数作为划分基本层次的标准。基本初等函数有以下六类：①常函数；②指数函数；③对数函数；④幂函数为常数）；⑤三角函数；⑥反三角函数（略）。（2）求导法则设，则。例如：①求导：②已知函数在R上满足，则曲

4、线在点处的切线方程是．6.抽象函数求导问题如：①设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（）A.B.C.D.②已知对任意实数，有，且时，，则时（）A．B．C．D．【重点结论】1.求导与单调性：若函数在区间I上可导，且使的点x仅有有限个，则在区间I上为严格递增（减）函数的充要条件为：对一切有13例如：①已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。②已知函数f(x)=在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围。2.求导与极值：（课本27～28页）若当时且当时，则为在上的极大（小）值。注意：（1）正确理解极值定义：（2）极值也可能在不可导点取得，如：在处取得极

5、小值，但是不可导。（3）驻点即满足的点不一定是取得极值的点，如：在点处。综上，满足的点是此点是极值点的既不充分也不必要条件。例如：①函数f(x)=(x2－1)3＋2的极值点是（）A、x=2B、x=－1C、x=1或－1或0D、x=0②求的极值点。③已知函数的导数，若在处取到极大值，则的取值范围是。（状元之路50页5）3.求导与几何意义：以曲线上一点为切点的切线方程是（1）注意鉴别：“过曲线上一点的切线”与“在曲线上一点处的切线”的区别：“在曲线上一点处的切线”是指以此点为切点的切线，而“过曲线上一点的切线”只表示曲线的切线过“此点”，但是“此点”不一定就是切点！例如：

6、①已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程是。（状元之路44页）练习：已知曲线上一点求过点P的切线方程。（2）利用导数的几何意义识图：如已知函数的导函数的图象如下图，那么的图象可能是（）【典例分析】题型1求单调区间例1设函数，其中a>0。（1）求f(x)的单调区间；（2）解不等式f(x)≤1。题型2研究极值问题例2设函数f(x)=(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：

7、f(x

8、1)-f(x2)

9、≤。题型3导数与图象特征结合例3已知平面向量=(,-1)，=(,).(1)证明⊥；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3)，=-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.例4．（07湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．【启迪迁移】1．（07全国2理）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲