Delta-sigma modulation

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1、淺談Delta-Sigma之工作原理文/黃克強’95年初老朽準備「EAD-DSP系列之DSP演算法」(詳見高傳真227期)之前，蒲總編曾經向老朽提及Crystal公司的CS4328、CS4330……一系列的IC，希望我能寫一系列的文章來談這一系列廣泛用途之OverSampling之D/AConverterIC，其實這一系列的IC都是採用了所謂之「分段式UpSample」的DSP架構搭配△-Σ之D/AConverter而成，由於老朽在『細說EAD-DSP系列之DSP演算法」一支中並末談及△-Σ的工作

2、原理，因此特別請我的好友黃克強博士來撰寫△-Σ的部份。——何志誠何老朽是我的摯友兼同事，他的辦公桌就在筆者的左手邊。他是個發燒友，也是音響專家。而筆者卻是個音響白癡(編者：唉！唉！黃先生實在太謙虛了，如果您是白癡，那我們豈不……)。他專精信號處理，尤其是OverSampling。而筆者擅長數位通訊及一點點適應性控制。半年前，甚至更久之前，何老朽拿了一些CS4328之類的DataSheet及他在高傳真發表的文章給我，這時我才在他的調教之下初窺發燒音響之門徑。誰知黃鼠狼給雞拜年不懷好意，何老朽半哄半騙

3、的要我替他寫一篇有關Delta-Sigma的介紹文章。礙於多年交情，我勉強答應下來。事後才發現這種文章真難寫。為了能在高傳真雜誌上「露臉」，必須避免學院派的數學推導，又必須把東西寫得清清楚楚(要不然就變成低傳真)，真是難。難！難！難！難！不過何老朽畢意沒看走眼，筆者費了九牛二虎之力，終究把它寫出來了。但由於筆者筆法不夠老練，寫出來的文章可能還是生硬了些，尚請讀老您多多包涵。有任何批評指教，請找何老朽代轉，包君滿意！圖零是CS4328的方塊圖，第一個方塊8XInterpolationFilter已經

4、在何老朽以前的一系列高傳真文章中介紹過了。第二個方塊就是本文所要談的Delta-Sigma(△Σ)。現在我們就開始正式進入△-ΣD/Aconverter之殿堂。為了使本文雅俗共賞，筆者避開了所有的數學方程式，儘量以圖解的方式作觀念上的介紹。要了解△Σ調變，必須先從△調變下手，比較容易進入狀況，複雜如CS4328所採用之五階△Σ調變就是從最原始之△調變一步一步演化而來的。請詳見圖一的演化圖。7建議讀者在K這篇文章時，多看圖，至於文字就只是用來說明圖例而已。圖二是一個八調變之1BitDAC。Xd代表數

5、位波形輸入，就數位音響而言，Xd可能是18bit，至於尾巴的d代表digital之意。Yd為△調變之1Bit輸出，值為正1或負1。△調變之觀念很簡單，就是要使Yd之積分波形愈接近Xd愈好，如圖三所示。每當Yd之積分值(即Zd)超過Xd，下一個Yd值就設為負1。如果Yd之積分值Zd低於Xd，下一個Yd值就設為正1。圖二的減法器就是要看看Xd和Zd誰大誰小，Ud=Xd-Zd，若Ud大於零，比較器輸出(即Yd)就為正1，若Ud小於零，比較器輸出為負1。如此一來Yd不斷的修正使得Yd之積分後波形Zd如影隨

6、形般的和Xd同上同下。現在要做的就是把Zd以類比的方式重現出來。很容易的，首先利用1Bit的DAC將數位的Yd轉成類比的對等信號Ya，(其中a代表analog之意)，然後再用類比積分器將Ya作積分而產生Za。於是Za和Zd兩者之波形是一樣的，只不過Zd是數位而Za是類比。但是由於1BitDAC，Za會有些不平滑的轉折點，所以最後還需要一個類比低通濾波器以產生平滑的Xa，Xa就是Xd的類比重現。7這樣的△調變方式產生了一些問題。首先是如果數位輸入波形Xd的變化太急劇，也就是斜率過大，如圖四(a)所示

7、，那麼Zd將會跟不上，而產生嚴重的失真。第二個問題是△調變看不見直流或極低頻成份。因為△調變基本上是針對輸入波形的時間變化量(類似微分)作1Bit的量化編碼(如圖三(a)所示)，所以直流成分顯示不出來。這樣說太模糊，我們看圖四(b)，如果輸入Xd是直流，那麼不管Xd的固定值是多少，Yd的輸出永遠都一樣，那當然不對。此外，類止積分器在實際工程上也不是那麼討人喜歡。要克服上述兩個問題，可以將圖二之△調變DAC作一些變形，我們將積分器從後面搬移到最前面．如圖五所顯示的。如此一來原來的類比積分器就變成數位

8、的積分器。而且Xd經過積分之後，原有的急劇變化將會變得平緩得多，於是後面的△調變就不會有斜坡跟不上的問題。至於Xd中的直流或極低頻的成份，經過積分之放大效果後，就不會像圖四(a)所示的那樣水平固定不動，於是後面的△調變就可以看得到而加以量化編碼。這實在是一本萬利。圖五這樣的系統可以稱呼為△Σ調變(SigmaDeltaModulator)，就是在△調變之前加個Σ，Σ意指積分。7圖五所描述的△Σ調變可以再加以簡單化。我們注意到圖五之Ud為Xd之積分減去Yd之積分，是先積分再相減。所以我