浅谈Delta-Sigma之工作原理

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1、浅谈Delta-Sigma之工作原理文/黄克强’95年初老朽准备「EAD-DSP系列之DSP演算法」(详见高传真227期)之前，蒲总编曾经向老朽提及Crystal公司的CS4328、CS4330……一系列的IC，希望我能写一系列的文章来谈这一系列广泛用途之OverSampling之D/AConverterIC，其实这一系列的IC都是采用了所谓之「分段式UpSample」的DSP架构搭配△-Σ之D/AConverter而成，由于老朽在『细说EAD-DSP系列之DSP演算法」一支中并末谈及△-Σ的工作原理，因此特别请我的好友黄克强博士来撰写△

2、-Σ的部份。——何志诚何老朽是我的挚友兼同事，他的办公桌就在笔者的左手边。他是个发烧友，也是音响专家。而笔者却是个音响白痴(编者：唉！唉！黄先生实在太谦虚了，如果您是白痴，那我们岂不……)。他专精信号处理，尤其是OverSampling。而笔者擅长数位通讯及一点点适应性控制。半年前，甚至更久之前，何老朽拿了一些CS4328之类的DataSheet及他在高传真发表的文章给我，这时我才在他的调教之下初窥发烧音响之门径。谁知黄鼠狼给鸡拜年不怀好意，何老朽半哄半骗的要我替他写一篇有关Delta-Sigma的介绍文章。碍于多年交情，我勉强答应下来。

3、事后才发现这种文章真难写。为了能在高传真杂誌上「露脸」，必须避免学院派的数学推导，又必须把东西写得清清楚楚(要不然就变成低传真)，真是难。难！难！难！难！不过何老朽毕意没看走眼，笔者费了九牛二虎之力，终究把它写出来了。但由于笔者笔法不够老练，写出来的文章可能还是生硬了些，尚请读老您多多包涵。有任何批评指教，请找何老朽代转，包君满意！图零是CS4328的方块图，第一个方块8XInterpolationFilter已经在何老朽以前的一系列高传真文章中介绍过了。第二个方块就是本文所要谈的Delta-Sigma(△Σ)。现在我们就开始正式进入△-

4、ΣD/Aconverter之殿堂。为了使本文雅俗共赏，笔者避开了所有的数学方程式，尽量以图解的方式作观念上的介绍。要了解△Σ调变，必须先从△调变下手，比较容易进入状况，复杂如CS4328所采用之五阶△Σ调变就是从最原始之△调变一步一步演化而来的。请详见图一的演化图。建议读者在K这篇文章时，多看图，至于文字就只是用来说明图例而已。图二是一个八调变之1BitDAC。Xd代表数位波形输入，就数位音响而言，Xd可能是18bit，至于尾巴的d代表digital之意。Yd为△调变之1Bit输出，值为正1或负1。△调变之观念很简单，就是要使Yd之积分波

5、形愈接近Xd愈好，如图三所示。每当Yd之积分值(即Zd)超过Xd，下一个Yd值就设为负1。如果Yd之积分值Zd低于Xd，下一个Yd值就设为正1。图二的减法器就是要看看Xd和Zd谁大谁小，Ud=Xd-Zd，若Ud大于零，比较器输出(即Yd)就为正1，若Ud小于零，比较器输出为负1。如此一来Yd不断的修正使得Yd之积分后波形Zd如影随形般的和Xd同上同下。现在要做的就是把Zd以类比的方式重现出来。很容易的，首先利用1Bit的DAC将数位的Yd转成类比的对等信号Ya，(其中a代表analog之意)，然后再用类比积分器将Ya作积分而产生Za。于是

6、Za和Zd两者之波形是一样的，只不过Zd是数位而Za是类比。但是由于1BitDAC，Za会有些不平滑的转折点，所以最后还需要一个类比低通滤波器以产生平滑的Xa，Xa就是Xd的类比重现。这样的△调变方式产生了一些问题。首先是如果数位输入波形Xd的变化太急剧，也就是斜率过大，如图四(a)所示，那么Zd将会跟不上，而产生严重的失真。第二个问题是△调变看不见直流或极低频成份。因为△调变基本上是针对输入波形的时间变化量(类似微分)作1Bit的量化编码(如图三(a)所示)，所以直流成分显示不出来。这样说太模糊，我们看图四(b)，如果输入Xd是直流，那

7、么不管Xd的固定值是多少，Yd的输出永远都一样，那当然不对。此外，类比积分器在实际工程上也不是那么讨人喜欢。要克服上述两个问题，可以将图二之△调变DAC作一些变形，我们将积分器从后面搬移到最前面．如图五所显示的。如此一来原来的类比积分器就变成数位的积分器。而且Xd经过积分之后，原有的急剧变化将会变得平缓得多，于是后面的△调变就不会有斜坡跟不上的问题。至于Xd中的直流或极低频的成份，经过积分之放大效果后，就不会像图四(a)所示的那样水平固定不动，于是后面的△调变就可以看得到而加以量化编码。这实在是一本万利。图五这样的系统可以称呼为△Σ调变(

8、SigmaDeltaModulator)，就是在△调变之前加个Σ，Σ意指积分。图五所描述的△Σ调变可以再加以简单化。我们注意到图五之Ud为Xd之积分减去Yd之积分，是先积分再相减。所以我们也可