2018_2019学年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法二综合法与分析法讲义含解析新人教a版

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1、二综合法与分析法1．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(3)证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为→→→……→2．分析法(1)定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命

2、题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．(3)证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→……→用综合法证明不等式[例1]　已知a，b，c∈R＋，且互不相等，又abc＝1.求证：＋＋<＋＋.[思路点拨]　本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过＝<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可

3、．[证明]　法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋.法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．1．已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc.c2＋a2≥2ca，将以上三个不等式相加得：2(a2＋

4、b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”得：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得：(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.用分析法证明不等式[例2]　a，b∈R＋，且2c>a＋b.求证：c－

5、　要证c－

6、a－c

7、<，两边平方得a2－2ac＋c20,2>0，∴要证＋<2.只需证(＋)2<(2)2.展开得10＋2<20.即证2<10，即证21<25(显然成立)

8、．∴＋<2.3．已知x>0，y>0，求证(x2＋y2)>(x3＋y3).证明：要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6.即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.∵x>0，y>0，∴x2y2>0.即证3x2＋3y2>2xy.∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy.∴3x2＋3y2>2xy成立．∴(x2＋y2)>(x3＋y3).综合法与分析法的综合应用[例3]　设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≤.[思路点拨]　所证不等式含有开方运算且

9、两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明．[证明]　要证＋≤，只需证(＋)2≤6，即证(a＋b)＋2＋2≤6.由a＋b＝1得只需证≤，即证ab≤.由a0，a＋b＝1，得ab≤2＝，即ab≤成立．∴原不等式成立．(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．4．已知a，b，c都是

10、正数，求证：2≤3.证明：要证2≤3，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即－2≤c－3.移项，得c＋2≥3.由a，b，c为正数，得c＋2＝c＋＋≥3成立．∴原不等式成立．1．设a＝，b＝－，c＝－，那么a，